Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [ 11 ] 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

материал является выборкой из генеральной совокупности - естественного коллектора. Исследуемое свойство пласта - проницаемость, пористость и т. д. принимается за случайную величину с определенной функцией распределения или интегральным законом распределения F (х).

Последняя представляет собой, как известно, соотношение, устанавлива-юш;ее связь между возможными значениями случайной величины и соответ-ствуюш;ими им вероятностями их появления. Производная от функции распределения называется плотностью распределения нли «плотностью вероятности»;

f(x) = F{x).

Функция распределения F {х) является универсальной характеристикой случайной величины, полностью определяюш;ей ее с вероятностной точки зрения. Иногда для этого достаточно использовать лишь числовые характеристики, определяюш;ие лишь наиболее существенные особенности распределения. Например, для указаншя среднего значения, около которого группируются все возможные значения случайной величины, используются характеристики положения: математическое ожидание, мода, медиана.

Допустим, что образцы, характеризующиеся свойством (например, проницаемостью) Xi, х,. . ., х,„ появляются в анализе с вероятностью соответственно Pi, р2, Рз1- • Рп- Тогда среднее взвешенное значение проницаемости пород вычисляется по формуле

+ • =Jzl-, (1.37)

Р1+Р2+- --f-Pn

Известно, что p, = 1, т. е.

M(x) = XiPi. (1.38)

Эта средневзвешенная величина и является математическим ожиданием.

Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений.

Если принять исследуемое свойство пород за непрерывную случайную величину, то

М{х)= \ xf(x) dx, (1.39)

где / (х) - плотность распределения исследуемого свойства.

Модой случайной величины принято называть то ее значение, в котором плотность вероятности максимальна (т. е. в Случае прерывной случайной величины модой называется наиболее вероятное ее значение).

Распределение физических свойств пород может быть и полимодальным, если кривая распределения имеет более одного максимума. При симметричных распределениях мода и математическое ожидание совпадают.

Ме дианой случайной величины называется такое ее значение, при котором вероятность появления случайной величины больше пли меньше медианы одинакова.

Медиана соответствует точке абсциссы, в которой площадь, ограниченная кривой распределений, делится пополам.

Числовыми характеристиками случайных величин, используемых для описания различных свойств распределения, являются моменты, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Для описания свойств распределения случайной величины моменты в математической статистике используются по аналогии с механикой, где распределение масс характеризуется моментом инерции, статическим моментом и т. д. Для этого применяются моменты начальные и центральные.

Начальным моментом S-ro порядка прерывной случайной величины х называется су м м а

as(x) = 2xfp,. (1.40)

Для непрерывных случайных величин х

а{х)= j xf{x)dx. (1.41)

Как следует нз определения, математическое ожидание представляет собой первый начальный момент. В общем случае начальным моментом 5-го порядка называется математическое ожидание 5-й степени случайной величины

ав{х)=М{х). (1.42)

Центральный момент связан с понятием центрированной случайной величины, которое представляет собой отклонение случайной величины х от ее математического ожидания:

х = х-М{х). (1.43)

Моменты центрированной случайной величины называются центральными моментами. Центральный момент порядка S выражается суммой

\S\=i-M{x)fpl (1.44)

или интегралом

Hs= j [х-М {x)ff(x)dx. (1.45)

Степень разбросанности распределения свойств горных пород около математического ожидания характеризуют наиболее часто вторым центральным моментом, который называют дисперсией случайной величины D (ж). Последняя представляет собой математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины

И2=/(х)=М (х«). (1.46)

Определяют ее в соответствии с прерывностью или непрерывностью случайной величины по формуле

D{x)[xi-M {x)\ipi (1.47)

D{x)= I [х-М{х)\ч]{х)йх. (1.48)

Нетрудно убедиться, что размерность дисперсии - квадрат размерности случайной величины. Поэтому для удобства пользования введена величина, размерность которой одинакова с размерностью случайной величины - среднее квадратическое отклонение, равное корню квадратному из дисперсии:

а{х) = УЩх). (1.49)

В качестве относительной характеристики рассеивания используется также коэффициент вариации (изменчивости), который равен отношению среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию

М(х) или

= 100. (1.50)

Асимметрия распределения характеризуется третьим центральным моментом, так как если распределение симметрично относительно математического ожидания, то все моменты (см. формулу 1.44) нечетного порядка равны нулю. Интеграл (1.45) при этих условиях (как интеграл в симметричных пределах от нечетной функции) также равен нулю.

Коэффициентом асимметрии принято называть безразмерную величину, равную третьему моменту Цз, деленному на куб среднего квадратического отклонения а:

5к = -§-. (1.51)

Островершинность или плосковершинность распределения характеризуется с помош;ью четвертого центрального момента - эксцессом, который равен

Ех==--3. (1..-)2)

Для нормального распределения = 3 и, следовательно, эксцесс равен

нулю. Это означает, что кривые с более плоской вершиной, чем нормальная кривая, обладают отрицательным эксцессом, с более острой - положительным.

Как уже упоминалось, числовые характеристики указывают лишь на некоторые существенные черты распределения случайной величины. Полная же исчерпывающая характеристика ее с вероятностной точки зрения дается функцией (законом) и плотностью распределения. Поэтому рассмотрим далее методы построения законов распределения случайных величин на основе опытных данных.

Допустим, что имеется значительное число (порядка сотен) ««» анализов какого-либо свойства х горных пород, слагающих изучаемый пласт. Из этого статистического материала строится статистический ряд, для чего весь диапазон значений х делится на интервалы или разряды. Число их г выбирают равным 10- 20. При этом в дальнейшем оперируют числом случаев, значения которых находятся в пределах соответствующих интервалов. Последние необходимо выбрать так, чтобы они были равны для всех разрядов, а средняя величина рассматриваемого свойства, попавшего в интервал, не должна существенно отк.чоняться от значения середины данного интервала. Далее подсчрггывается число значений Xi, приходящееся на каждый i-й разряд, и, разделив эту величину на общее число наблюдений п, находят частость (вероятность) случайного события, соответствующую данному разряду:

Сумма частостей должна быть равна единице. 44