Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [ 13 ] 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Смысл параметров о и го в распределении М. М. Саттарова виден из рис. 1.17, на котором нанесены функция и плотность распределения и диаграмма квантилей для случая, когда а = 0,5 мкм и Жо = ctg а = 1 мкм.

Из рис. 17 (кривая 2) следует, что каждому значению переменной величины (абсциссе) соответствует ордината, по которой можно определить общее число наблюдений, результаты которых не превышают данного значения переменной

величины. Эта абсцисса назы-

f(x)\--1-1-1-1-I вается квантиль ю, соответствующей данной доле. Квантиль, соответствующая накопленной вероятности (частости) Р, называется Р-квантилью. Обозначим ее через хр. Например, для случая, приведенного на рис. 1.17, квантиль, соответствующая накопленной вероятности 0,6, будет равна 2 (т. е. о.в = 2). Иначе говоря, если функция распределения P=F{x) указывает зависимость вероятности Р от значения случайной величины X, то обратная функция х = G (Р) определяет значения квантилей, соответствующие данным накопленным вероятностям.

Для быстроты и удобства подбора подходящей теоретической кривой и отыскания числовых характеристик распределения кривая распределения вычерчивается в виде диаграммы квантилей на «вероятностной бумаге». Последняя строится для каждого распределения таким образом, что график соответствующей фзщкции распределения на ней представляет собой прямую линию. Это достигается путем выбора специальной шкалы на оси ординат, построенной так, что график функции распределения на этой сетке изображается прямой линией. При этом на оси ординат откладываются зна-х-о-х; чения накопленных частостей, " а на оси абсцисс - значение исследуемого параметра. В зависимости от строения шкалы абсцисс получают «вероятностную бумагу» для исследования различных функций распределения. Предварительный выбор «вероятностной бумаги» можно сделать по виду гистограммы. Например, для определения параметров и функции распределения случайной величины, гистограмма которой приведена на рис. 16, следует воспользоваться «вероятностной бумагой», применяемой для исследования нормального закона. Если это предположение окажется справедливым, то значения накопленных частостей, нанесенные на эту вероятностную бумагу, будут группироваться около одной прямой. Бели нанесенные точки не группируются около одной прямой, то это означает, что исследуемое распределение не подчиняется нормальному закону или же имеет место неоднородное распределение.

Рис. 1.17. Кривые распределения М. М. Саттарова:

1 п г - плотность и функция распределения; 3 - диаграмма квантилей на вероятностной бу-

хо = ctg а = i мш; Жо=0,5 мкм.

При построении и анализе диаграммы квантилей нормального распределения исходят из следующих положений.

Началом отсчета значений случайной величины может служить ее среднее значение m (см. табл. 1.1). Тогда используя стандартное отклонение а как единицу отсчета, получим новую случайную величину

(1.54)

которая называется нормированной величиной. При этом функцию F {х) с j-четом новой переменной U можно представить в виде нормированного нормального распределения Ф (U).

(1.55)

3-г-г 0 12 3

т-26 т-б т т*6 т+26

Рнс. I.I8. Кривая нормированного распределения Ф (U) и кривая распределения F{x) при стандартном отклонении а и средней значении т.

Квантили Up с накопленной вероятностью Р можно найти из уравнения

0(Up) = P. (1.56)

Поскольку получим при хр= т - UpO

(1.57) (1.58)

Это означает, что если на диаграмме в прямоугольной системе координат значения X отложить по оси абсцисс, а значения Р - ио оси ординат, то мы получим прямую линию с угловым коэффициентом 1/а, проходящую через точку (т, 0). Для удобства работ значения (г. Up) наносят на «вероятностную бумагу».

Кроме графического способа, параметры распределения m и а можно найти и по двум частным значениям функции распределения (х, ?{} и {х, Р) по формулам (1.56) и (1.58), так как

m + f i0 = xj;

Ттт m-{-U2a = X2

Ui и U2 можно определить из уравнений Ф {и) = рм Ф (U) = р-Тогда

<»>

m = xi~Uia = X2 - U2a. (1-61)

Если в качестве двух частных значений взяты функции некоторых характерных точек нормального распределения, результат приобретает особо простую форму. Действительно, из рис. 1.18 можно видеть, что точкам с накопленной вероятностью = 50% tt Р= 15,9% соответствуют значения = О л = - -1, так что

т = х5о;

0=2:50 -5,9.

На этом основании для определения параметров m и а на диаграммах распределения находят квантили, соответствующие накопленным вероятностям, равным 50% и 15,9%. Первая из них будет оценкой для величины средней т, а разность между двумя найденными квантилями - оценкой для стандартного отклонения хг.

Для логарифмически нормального распределения уравнение прямой, построенной в координатах Up - In хр на логарифмически «вероятностной бумаге», будет

Inxn -In т

Up =-- (0<х<оо). (1.62)

Если распределение подчиняется логарифмически нормальному закону, по аналогии с предыдущим, полученные точки накопленных частот статистического распределения будут группироваться около прямой на логарифмически-вероятностной бумаге. При этом математическое ожидание логарифма исследуемой величины М (In jc) = In m будет равно абсциссе точки соответствующей накопленной вероятности, равной 50%, а величина стандартного отклонения с (In х) = In m - In г», где In г- - абсцисса точки с накопленной вероятностью F (In х) = 0,159.

Для функции распределения М. М. Саттарова уравнение прямой, построенной в координатах Up - хр на «вероятностной бумаге», будет

Хр - а

Up = --. (1.63)

Следовательно, если распределение описывается функцией М. М. Саттарова, имеющиеся точки накопленных частот статистического распределения будут группироваться на соответствующей «вероятностной бумаге» около прямой, по положению которой и оцениваются параметры распределения (см. рис. 1.17).

xo = ctg а= ; a = Ux=oX(,.

Как уже упоминалось, при неоднородном распределении, т. е. когда оно является результатом соединения, например, двух генеральных совокупностей случайных величин с различными параметрами распределения, то фактическое расположение точек накопленных вероятностей отклоняются от линейного графика. Проверить неоднородное распределение, состоящее из нескольких нормальных, можно с помощью полулогарифмической бумаги, на которой строится зависимость Ig а/ - х/, где х/ - середина /-го интервала случайной величины;