Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [ 20 ] 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71

гпава 3

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

О ПРИТОКЕ ЖИДКОСТИ

К ВЕРТИКАЛЬНОЙ ТРЕЩИНЕ

ГИДРОРАЗРЫВА КОНЕЧНОЙ

ПРОВОДИМОСТИ

Исследуется плоское стационарное течение однородной несжимаемой жидкости в пласте, содержащем вертикальную трещину гидроразрыва эллиптической формы. Фильтрация в пласте и в трещине подчиняется закону Дарси. Получено точное решение задачи о притоке к трещине конечной проводимости при наличии в окрестности трещины области, отличающейся по проницаемости от остального пласта [43, 167]. На основе полученного решения оценивается влияние параметров загрязненной зоны на производительность скважины, пересеченной трещиной гидроразрыва конечной проводимости.

3.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается плоская стационарная фильтрация однородной жидкости, обусловленная точечным источником (стоком) интенсивности Q, расположенным в центре конфокальных эллипсов с полуосями l, w и a, b соответственно и фокусным расстоянием f: a2 - b2 = l2 - w2 = f2. Эллипсы ограничивают включения, отличающиеся от основного пласта по проницаемости (рис. 3.1). Предполагается, что пласт имеет постоянную толщину h и проницаемость к. Включение, моделирующее трещину гидроразрыва, характеризуется проницаемостью к2 и полуосями l и w, соответствующими полудлине и полуширине трещины. Область, заключенная между

Рис. 3.1. Три области фильтрации:

1 - пласт, 2 - трещина, 3 - загрязненная зона

эллипсами, имеет проницаемость к3. При к3 < ki эта область моделирует загрязненную зону. Если движение жидкости в пласте и в трещине подчиняется линейному закону фильтрации, то распределение потенциала ф в каждой области определяется уравнением Лапласа

Аф. = 0;

(3.1)

где pi - давление; ц - вязкость жидкости; индекс i = 1 соответствует внешней области, индекс i = 2 - трещине, индекс i = 3 - области, окружающей трещину. Перейдем к комплексной переменной Z = rеi" и комплексному потенциалу Ф = ф + где r - расстояние от источника; а - полярный угол, отсчитываемый от направления, определяемого большой осью трещины (см. рис. 3.1); \\ - функция тока рассматриваемого течения. Тогда общее решение рассматриваемой задачи представляется как

Ф 3 =

InZ + кз iOnZ

(3.2)

Здесь B„, D„, G„ - произвольные вещественные коэффициенты. Границы трещины и окружающей ее области в комплексной форме имеют вид

n= 0

n= 0

n = -CO

f ti

l+ w

; 0 < t< 2n;

ti - +

f eti(l + p2e ttii; p - .j-

a-b a + b

(3.3)

На линии раздела областей давление и функция тока должны быть непрерывны [81, 85]. Таким образом, условия сопряжения решений (3.2) на границах (3.3)

- ReФз [Z) - - ReФ. [Z) ;lmФ3 [Z)- ImZj) ; j- 1,2. (3.4)

k3 kj

3.2. ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ

Вдоль линий (3.3) справедливы представления:

(f2) -2nqne-2nt + q2e-2tif

(f2)-2nq2ne-2ntiY [-1)kq2ke-2kti

k- 0

Zi-2n - (f2)-2np2ne-2nt{l + p2e-2t)2n

(f2)- 2np2ne-2nt

Z, „к 2k -2kti [-l)kp2ke 2kti

V k-0

Эти ряды сходятся, так как являются суммами геометрических прогрессий, знаменатели которых по модулю меньше единицы. Следовательно, ряды по отрицательным степеням Z2 и Zj в уравнениях (3.4) могут быть представлены в виде

]Г BnZi-2n - ]Г Anpne-2nti; ]Г G-nZi-2n - ]Г EnPne-2nti;

Z2 -