Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 [ 66 ] 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

Энергия упругой деформации одного конечного элемента определяется формулой

1 hM2

U = J EMJdz. (5.39)

2 0 EJx

Изгибающий момент Мх определяется формулой (5.36):

Mx =-EJxdVr.

xxdz2

В пределах одного элемента величины Мх Е Jn считаем постоянными. Если элементы короткие, то такое предположение вполне оправдано. Численные эксперименты показывают, что элементы длиной (0,5+1)D (где D - диаметр трубы) отвечают требуемой точности расчетов.

И сходя из этого, получаем для энергии упругой деформации одного элемента

u=2 J EJx

Заменим вторую производную приближенным выражением (5.37). Тогда для выделенных трех элементов с номерами (i - 1), (i), (i + 1) получим следующие выражения упругой энергии (в предположении, что для трубопровода значения Е и J,! являются постоянными):

- 2vi.-1 + - 2

Ui = i#(Vi+1 - 2Vi- + Vi-1)2; (5.40)

Ui+1 = EJt(Vi+2 - 2Vi.+1 + Vi)2. 2h

Локальному равновесию узла с номером (i) при отсутствии внешних сил соответствует минимум суммарной энергии элементов вокруг этого узла. Из выражений (5.40) следует, что узел с номером (i) участвует только в выражениях энергий только для трех элементов - с номерами (i - 1), (i), (i + 1). Поэтому найдем полную энергию Uп этих трех элементов и минимизируем ее относительно величины Vi:

Un = Ui-1 + Ui + Ui.+l. (5.41)

Минимуму энергии в локальной области ип соответствует равенство нулю вариаций этой величины

5U„ = 0. (5.42)

Н айдем левую часть выражения (5.37):

SU, = EJx--2 - 4Vi.-1 + 6Vi. - 4Vi.+l + Vi.+2) 5= с.SV. . (5.43) h

Таким образом, если на трубу внешние нагрузки не действуют, то условие локального равновесия узла (i) будет следующим:

Vi.-2 - 4Vi.-1 + 6Vi. - 4Vi.+1 + Vi.+2 = 0. (5.44)

На трубопровод действуют достаточно сложные нагрузки: грунт, ремонтные механизмы, собственный вес заполненной трубы, подъемные механизмы. Все многообразие нагрузок можно выразить функцией нагрузки q(z). Эту функцию в численном решении заменим сосредоточенными силами, приложенными на узлы конечных элементов Qi = q(z)h, (см. рис. 5.7). Если на некоторые узлы действуют сосредоточенные нагрузки R, то они также должны входить в состав Qi следующим образом: Qi = q(z)h + R. Итак, для численного решения распределенные и сосредоточенные нагрузки (силы) выражаются совершенно одинаково через величины Qi.

При смещении узла (i) происходит изменение упругой энергии трех элементов, соответствующих номерам (i - 1), (i), (i + 1). Одновременно при этом внешняя нагрузка Qi совершает работу. П оэтому условию равновесия в локальной области соответствует равенство нулю вариации функции Лагранжа:

L = - Ai; (5.45)

5L =5(U, - Ai) = 0;

5U„ = 5Ai.. (5.46)

Здесь Ai - работа внешних сил, приложенных в узле (i);

5Ai. = Qi 5Vi = hqi 5Vi. (5.47)

С учетом выражений (5.13) -(5.15) и (5.47) условие равновесия (5.46) получает следующий вид:

x (Vi-2 - 4Vi.-1 + 6Vi. - 4Vi.+1 + Vi+2) = hq.. (5.48)

Отсюда для смещения узла (i) получим формулу

Vi = + 2(Vi--1 + Vi+1) - 7(Vi--2 + Vi.+2). (5.49)

6EJ 3 6

Это и есть условие равновесия узла (i) под действием произвольной нагрузки, интенсивность которой выражена функцией g(z). Если сравнить с результатом, полученным методом конечных разностей, то увидим полное их совпадение. Формулы (5.38) и (5.49) полностью идентичны.

Расчет ремонт ных напряжений с учет ом продольных нагрузок

Дифференциальное уравнение продольно-поперечного изгиба упругой балки имеет вид [823]:

d4V d2V

EJx - N(z) = g(z), (5.50)

dz dz

где g(z) - поперечная распределенная нагрузка в трубопроводе; N(z) - продольное эквивалентное (суммарное) усилие, определяемое по формуле

N = (цакц -аДГЕ), (5.51)

где ц - коэффициент Пуассона; акц - кольцевое напряжение в стенке трубы; а - коэффициент линейного расширения материала трубы; ДГ = Тр - ТС - расчетны1й температурный перепад; F - площадь поперечного сечения стенки трубы.

Положительному знаку продольного усилия N соответствует растяжение (как и осевое напряжение).

Здесь необходимо учитывать, что формула (5.51) может иметь ограниченное применение в задачах, связанных с ремонтом трубопроводов. Ограниченность ее связана со следующими обстоятельствами:

формула не учитывает появление ремонтных осевых деформаций при некоторых технологиях ремонта (ремонт с подъемом трубопровода, ремонт подводного участка методом подсадки);

формула не учитывает остаточные осевые напряжения после строительства трубопровода и последующих процессов, происходящих в грунтах при длительной эксплуатации;

осевые напряжения могут появиться вследствие подвижек грунта, связанных с геологическими процессами (это явление