Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 [ 35 ] 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78

при следующих условиях

Т (h, 0) = Го + Гк Т (О, t) = Го

дТ (оо, О dh

= Г.

(VI 1.23)

Применим преобразование Лапласа по переменной t. Тогда полу-

аГ; = sr„ - (Го + Гк) -

Это уравнение имеет следующее общее решение

(VI 1.24)

(VII. 25)

Из последнего условия (VII. 24) следует, что .В = 0. Из второго находим

условия Г„(0, О = -

(VII. 26)

Таким образом, решение задачи для изображения имеет вид

Г„ =

r» + rh

(VII. 27)

Оригинал этого изображения приводится в работе А. В. Лыкова [37]

Т = То + Гк + rut

1-4Лег!с- , 2/at]

Р erfc X = f

f erfc I dl

(VII. 28)

(VII. 29)

Из таблицы этой функции [37] видно, что erfc О = 0,25, т. е. отвечает первому условию (VII. 24). По мере роста аргумента х функция быстро надает. При х = 2, Р erfc а; 0,0002 кривая

4Рerfc у- соединяет точку Гд на поверхности земли со сдвинутой геотермой Г, асимптотически приближаясь к ней. Однако уже на глубинах к 4 У а t теплопроводное охлаждение с поверхности не имеет практического значения. Для а = 10~* • 2 м/ч глубина (в м), до которой достигается охлаждение с поверхности k2yat, равна примерно 8Y t (где t в годах). Как видно, первые температурные сигналы на глубине 1000 м можно будет обнаружить примерно через 15 тысяч лет после возникновения постоянно действующего источника тепла на поверхности земли.

СКОРОСТЬ ПРОМЕРЗАНИЯ ГРУНТА Проблема промерзания почвы

рассматривалась многими исследователями в связи с задачами строительства. На протяжении последних 130 лет опубликовано около 40 работ.

Первое решение задачи промерзания воды дано Ламе и Клапейроном в 1831 г.. которые рассматривали самый простой случай начальных и граничных условий, а именно: начальная температура воды равна температуре замерзания Т (h, 0) = Tzq. температура на поверхности почвы постоянная Т (О, t) = Тс- Для этих условий уравнение теплопроводности

- = -Чг (VII. 30)

имеет автомодельное решение

Г,.(/г, t) = T, + -£i»ZZerf--, (VII.31)

l \ 2 у Uzt

, 2 j/uz

где Тс - наружная температура; Tz - температура замерзания; Сд - постоянная; Oz - температуропроводность льда.

Из (VII. 31) следует, что глубина промерзания будет определяться формулой

/г, = Со/Г, (VI 1.32)

где постоянную Сд следует определить из баланса тепла в точке замерзания, который в общем виде запишется так

q,-q = mQBUz{t), (VII. 33)

где qz - интенсивность отвода тепла из уровня замерзания в ккал/м • ч; q - интенсивность подвода тепла снизу к точке замерзания в ккал/м ч; т - пористость; - скрытая теплота замерзшей воды, равная 80 000 ккал/м; Uz {t) - скорость промерзания, в м/ч.

В соответствии с принятыми начальными условиями = О баланс (VII. 33) упрощается

9z = K~- = K "" \.L =mQB. (VII. 34)

Интегрируя (VII. 34) методом разделения переменных, находим глубину промерзания

Ь. --h£l±llA-е"Г. (VII. 35)

-/naz mQg erf-%=r-

Сопоставив (VII. 32) и (VII. 35), получаем уравнение для определения постоянной Со таким способом

Уо = 0е"° erfc = flii" (VII. 36)

Co = 2/V (VII. 37)

При вычислении значения Xq удобно пользоваться графиком функции уо = fi)-

Задача промерзания грунта при более сложных краевых условиях Т (О, t) = Тс-, Т (h, 0) = Го; Тс < < Го была решена венским математиком Стефаном. Для мерзлой части грунта Стефан получил решение (VII. 31), а для теплой

t{h,t) = tq- о~о erfc-(VII. 38) erfc - 2 / а 2у а

где а - температуропроводность теплой части грунта.

Из условий (VII. 31) и (VII. 38) определяется глубина промерзания (VII. 32), но постоянная Сц для условий Стефана меньше, чем для условий Ламе и Клапейрона, и находится из уравнения

M!Vl--"-{.-у rnQ.Vnx,. (VII. 39)

..erfoe /erfc-/:r„e~»

Значения х трудно вычислить по формуле (VII. 39). В этой связи многие исследователи - Л. С. Лейбензон [34], И. А. Чарный [74], Рубинштейн и другие предложили ряд приближенных способов определения коэффициента Сд для вычисления глубины промерзания по формуле (VII. 32).

Исследование больших глубин промерзания, например при изучении так называемой «вечной мерзлоты», требует учета геотермического градиента. Однако в этом случае нарушается закономерность (VII. 32), возникают большие аналитические затруднения, в связи с чем задача промерзания с учетом геотермического градиента пока не решена.

Для приближенных определений глубины промерзания можно ограничиться приближенным определением значения х по формуле (VII. 39). Так как обычно х < 1, то после разложения функций erf а;о, егГса;оие* в ряд в точностью до х\, т. е. отбрасывая члены ряда больше единицы, получим

ZamQa 2 у naamQa