Главная Переработка нефти и газа § 2. ВЫРАВНИВАНИЕ Увеличение скорости фильтра- МГНО&ЕННсЛ-ОВНЕДРЕНИЯ ии способствует увеличению раз-ЖИДКОСТИ в ПОРИСТОЕ ТЕЛО ности температур между жидкостью и пористым телом. Максимальная разница температур будет, очевидно, в момент внедрения жидкости в породу. Мгновенное насыщение пористого тела жидкостью приводит в Тепловой контакт две фазы на большой площади. Поэтому задачу теплопередачи в пористой среде будем решать в следующей постановке: две неограниченные однородные пластинки 1 и 2 с различными начальными температурами приводятся в соприкосновение в момент времени t = 0. Температуры пластинок в плоскости соприкосновения принимаются равными. Тепловой поток через внешние несоприкасающиеся поверхности пластинок принимается равным нулю. Требуется найти разность средних температур пластинок как функцию времени t. Обозначения толщины пластинок h, температур Т, коэффициентов теплопроводностей Я, теплоемкостей с и температуропроводностей а будем отмечать индексами 1 и 2 соответственно номерам пластинок. Начало координат х = О поместим в плоскости соприкосновения. Тогда начальные условия можно будет записать так: условие постоянных начальных температур пластинок Tl (а:, 0) = Гох; Т{х,0) = Т,, (II.4) условие равных температур в плоскости соприкосновения пластинок ri(0, ) = Га(О,0; (II-5) условие равных тепловых потоков через плоскость соприкосновения .о() = -Я, = -Я,; (II. 6) условие тепловой непроницаемости наружных поверхностей пластинок dx dx \ • I X = - h-y X = Распространение температур в пластинках будет отвечать системе дифференциальных уравнений в частных производных дГ, (х, t) дТг {x, t) . "2--a---аГ-- •> Поставленную задачу удобно решать операторным методом. После преобразования частных производных температуры по времени (по Лапласу) T{x,t)-T{x,s); lL±-.sT{x,s)-To (11.10) получаем вместо системы дифференциальных уравнений (II. 8) и (II. 9) в частных производных систему обыкновенных дифференциальных уравнений для изображения Та dT„ (х, S) «1 dx - -г ) - ох; (П. И) a,- = sT„{x,s)-To,. (11.12) Общее решение этой системы уравнений имеет вид Тщ{х,з) + A,shyx + BiChYа:; (11.13) T„,{x,s)== + A2shy-x + Bch-±х, (11.14) где постоянные А, А, В и В определяются из краевых условий. Условие постоянства начальных температур в пластинках учтено в преобразованиях Лапласа (II. 10). Условия (II. 5), (II. 6) и (II. 7) дают следующую систему алгебраических уравнений + Bi = + B,; (11.15) К VTi = 1/72; (11.16) A,ch-/hi = -BiShY-i-hi, (11.17) AchY-h-BshYh. (11.18) Поскольку искомая нами средняя температура пластинок зависит от перетоков тепла через поверхность контакта, которые определяются условиями (II. 6) и (II. 16), то для решения поставленной нами задачи достаточно определить значение постоянной А (П. 19) причем ДГо = Гох - 02- Принимаем, что Гох > ог- Подставляя значение (II. 19) в уравнение (II. 16), получаем следующее изображение функции теплового потока через единицу площади поверхности контакта 9о(«) = -Х т/X, ci 2 С2 sh 1/ hi sh 1/ - h2 X----=---(11.20) /Xi c, sh у fe] ch "/ Л2+ /Ichy -hi shy Суммарная передача тепловой энергии через единицу площади контакта определяется интегралом Wi,2== fqo(t)dt 6 или в изображениях Лапласа (11.21) (11.22) По мере нарастания тепловой энергии 2 {t) изменяется температура пластинок в соответствии с формулами -1,2(0 + 1,2(0 (11.23) а разность средних температур пластин отвечает выражению А1.2(0 = АГо-ЙЙ..2(0 (11.24) или в изображении Лапласа с учетом решений (II. 20) и (II. 22) AT{s) = yXiCi sh 1/ - fti ch 1/ fh+-/xc chl/ -hishl/ - r "1 r r til r -1 . (11.25) Чтобы упростить переход от решения задачи в изображении (II. 25) к оригиналу, рассмотрим случай контакта пластинок из одного материала. Когда = Яа и Cj = с, решение (II. 25) упрощается так ДГ (S) = X - shl/ - hshl/ -h а г а га (11.26) Можно показать, что второй член правой части равенства (II. 26) есть отношение двух обобщенных полиномов Ф (s) : ф (s), а именно h л.ь -Sbl/-К sh 1/42 + га Y а Ф(5) = (11.28) 0 1 2 3 4 5 [ 6 ] 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 |
||