Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 [ 1 ] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

безразмерных параметров в сравниваемых случаях. Достаточно, чтобы они укладывались в отрезке, соответствующем слабой зависимости изучаемой характеристики от безразмерного параметра. Таким образом, будет обеспечено приближенное подобие явлений.

Как же получить зависимость изучаемой характеристики явления от определяющих параметров в безразмерной форме? Для этого можно использовать два пути. Первый из них применяется в том случае, когда изучаемое явление настолько ново или сложно, что отсутствует его математическая модель.

Этот путь следующий. После того как исследователь опытным путем или даже на основе своей интуиции установит параметры, от которых зависит изучаемая характеристика явления (определяющие параметры), необходимо выяснить, какие из определяющих параметров имеют независимую размерность, т. е. не могут быть выражены друг через друга. Это можно сделать либо путем простого сопоставления размерностей параметров, либо используя следующий способ. Пусть нужно определить зависимость или независимость размерностей таких параметров, как длина I, скорость и, и вязкость р. Они имеют следующую размерность:

= [v] = LT-\ [ц] = РЬ-Т, (1.4)

где L, Т ж Р - соответственно размерности длины, времени и силы. Квадратные скобки означают размерность соответствующей величины.

Определим теперь, можно ли одну из величин, например I, выразить через 17 и р. Имеем

[l\ = L = \vY [Р]" = ЬТ-РУЬ-УТ = L-PT"-. (1.5)

Приравнивая размерности в левой и правой частях равенства (1.5), получаем систему уравнений:

х-2у=\\ у = 0; у-х=>0. (1.6)

Как можно легко видеть, система (1.6) является несовместной. В самом деле, из второго и третьего уравнений получается, что X = у - О, что не соответствует результату, получаемому из первого и второго уравнений. Таким образом, параметры Z, v и р имеют независимую размерность.

Если же теперь, например, к указанным выше параметрам I, V и ц добавить еще и давление [р] = PL~, то этот параметр можно выразить через остальные. Так,

(1.7)

Следовательно, о всех четырех параметрах I, v,\i ъ р уже нельзя сказать, что они имеют независимую размерность. Ею будут обладать лишь три параметра: /, у и р.

Итак, допустим в общем случае, что исследуемая характеристика явления а есть функция п определяющих параметров а,, т. е. что

a = t{ai. «2, «3. ..., «А, flft+i, • • (1-8)

При этом к параметров из ге обладают независимой размерностью, причем

Kl = i, 1 = , laftl = ft. (1.9)

В выражении (1.9) символы Л, и т. д. означают размерность соответствующих параметров а, и т. д. Размерность же остальных величин, входящих в зависимость (1.8), обозначим следующим образом:

[a„] = AVAV . . . .Al

(1.10)

где Pi, Ql (1 i A;) являются показателями степени при соответствующих размерностях.

В теории подобия существует П-теорема («пи-теорема»), которая гласит [102], что всякая зависимость вида (1.8) исследуемой характеристики явления от определяющих явление параметров может быть представлена в безразмерном виде:

П = П(П„П,. П„.,), (1.11)

П = -

т, т, Щ

ai аг ... а*

V\ . . .

В качестве примера применения П-теоремы подобия рассмотрим процесс вытеснения нефти водой из прямолинейного образца пористой среды. В этом процессе в образец, пористая среда которого первоначально была насыщена нефтью, закачивается вода, вытесняющая нефть. При этом в области О а: Z (рис. 2) существует совместное течение нефти и воды, а также действуют капиллярные силы. В области Z а: = Z, движется чистая нефть.

Предположим, что в этом процессе исследователь намерен определять перепад давления в области, куда проникла вода, вытесняющая нефть. Будем считать, что перепад давления Др, отнесенный к длине I, зависит от расхода воды v, отнесенного к единице площади образца, параметра к, характеризующего свойства пористой среды пропускать жидкость (проницаемости пористой среды), вяз-

кости воды fii, вязкости нефти Цг, поверхностного натяжения а и угла смачивания 9. Следовательно,

Y = fiv, к, pi, or, 9).

(1.12)

Входящие в (1.12) параметры имеют следующую размерность:

(1.13)

а 9 - безразмерная величина.

Вода

Рис. 2. Вытесненне не$ти водой из пласта

Начиная анализ размерностей параметров (1.12), можно увидеть, что параметры у. А; и р имеют независимую размерность, т. е., например, v никак нельзя выразить через к и р, поскольку в размерность pi входит размерность силы, которая не входит ни в v, ни в к. Поверхностное натяжение о имеет размерность, зависимую от параметров v и р, так как [о] = [ypi]. Угол смачивания 9, как величину безразмерную, не будем включать в анализ размерности, отнеся его заранее в число безразмерных параметров.

В таком случае, используя обозначения, данные в формулах (1.10) и (1.11), имеем

ai = i;, а2 = й;, «3 = 1, а*+1 = Р2. а„ = or, 1 = Zr-i, Л2 = Z Лз = PL-Ч.

Нефть

Отсюда

(1.14)

- Jjnt+2m,-2m,pm,fm,-mi

(1.15)

Приравнивая размерности в левой и правой частях равенства (1.15), получаем

/П1 = тз=1, /712=--1. (1.16)

Аналогично имеем

/i=P2 = o, Рз = 1. gi=g3 = i. 92=0.

(1.17)