Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 [ 4 ] 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

получим, что производные от проекций вектора а по соответству-ЮЩШ1 направлениям определяются линейными преобразованиями (2.22) и зависят от входяних в них девяти производных проекций по координатам. Линейные преобразования (2.22) называются аффин-ными, а входящая в них совокупность из девяти производных составляет аффинный ортогональный тензор второго ранга. Поскольку в этой книге рассматриваются только такие тензоры, будем называть их просто тензорами. Тензор в дальнейшем будем обозначать символом Т с соответствующим значком. Приведенный выше тензор в развернутом виде записывается следующим образом:

(2.23)

Компонентами аффинного ортогонального тензора, конечно, могут быть не только производные от проекций некоторого вектора, но и компоненты, имеющие иной смысл.

§ 3. СПЛОШНАЯ СРЕДА. ТЕНЗОРЫ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ

Введем теперь представление о сплошной среде. Понятие сплошной (бесконечно делимой) среды является абстрактным. Реальные вещества, состоящие из молекул и атомов, кристаллов, обладающие неоднородным строением в малых и больших объемах, не являются, конечно, сплошными. Тем не менее представление реальных тел в виде сплошных сред, обладающих свойствами, существенно влияющими на изучаемый процесс, дает вполне приемлемое количественное описание явлений, согласующееся с экспериментальными фактами.

Если сплошная среда представляется как деформируемая, то всякое изменение действующих на эту среду сил должно будет вызывать ее деформацию.

Возьмем элементарный объем сплошной среды (рис. 6) в форме куба. Действующие на его грани напряжения состоят из нормальных напряжений а., а„

Рис. 6. Элементарный объем среды dx dy dz

пряжении ху, Хух, Xyz, Xzy, Xxzi tzx- Таким образом, напряженное состояние элементарного объема сплошной среды характеризуется девятью компонентами напряжения. Совокупность девяти

компонент напряжения составляет тензор напряжений Та, который представляется в развернутом виде следующим образом;

Элементарный объем должен находиться в равновесии. Следовательно, имеет место равенство нулю полного момента действующих на него сил. Отсюда следует, что = т,

•yxl

И таким образом для описания напряженного состояния элементарного объема среды оказывается достаточным шести компонент напряжения.

Величина нормальных и касательных напряжений, действующих на элементарный объем среды, зависит от выбора направлений осей координат, т. е. от ориентации элементарного объема среды в пространстве. Из теории напряжений следует, что элементарный объем деформируемой среды можно мысленно ориентировать в пространстве таким обра-, , зом, т. е. так выбрать на-

Рис. 7. Деформация грани dx йу правление координатных

осей в каждой точке деформируемой среды, чтобы касательные напряжения оказались равными нулю, а остались одни только нормальные напряжения. Эти нормальные напряжения называются главными нормальными напряжениями, обозначаемыми обычно Oi, Og и О3. Грани элементарного объема среды, на которых действуют главные нормальные напряжения, называются главными плоскостями.

На площадях, делящих углы между главными плоскостями пополам, действуют одни только касательные напряжения п, Тг, Тз, определяемые формулами

сгг-<1з

Рз -Pi 2

Oi -Рг

(3.2)

Напряжения Тц т, Тз называются главными касательными напряжениями.

Из сказанного выше следует, что в каждой точке тела можно создать любое напряженное состояние, задав определенным обра-

зом либо главные нормальные, либо главные касательные напряжения.

Рассмотрим теперь деформацию тела. Нормальные и касательные напряжения, действующие на элементарный объем среды, вызывают смещение и искажение его граней. Как видно из рис. 7 грань элементарного объема, находящаяся в плоскости х, у, занимала до деформации объема положение ОАВС, а после его деформации эта грань займет уже положение OiAiBiCi, испытав не только перемещение, но и искажение. Относительные изменения длин ребер грани ОАВС определяются величинами = duldx, &у = dvldy, а угол сдвига - величиной уу = dvldx-\- duldy (и, v vs. w - компоненты смещения элемента в направлениях ж, у и z соответственно). Для других граней элементарного объема имеем

dv I dw "д7~ду

dw dx

Величины е., Ъу, e, yy Ууг Ухг полностью определяют деформацию элементарного объема, образуя тензор деформаций Tg,, записываемый в развернутом виде следующим образом:

Тензор Tg имеет главные относительные удлинения ei, и и главные сдвиги = 82-63, у = 63-62, Уз = 61-62.

Для характеристики свойств текучих тел, деформация которых изменяется со временем t, требуется рассмотрение тензора скоростей деформации с компонентами у, цу, Цу, т), выражающимися через относительные удлинения так, что 1 = {dldt)Zx, г]ху = {dldt)yxy и т. д.

Напряженное состояние в каждом элементарном объеме сплошной среды можно разложить на всестороннее сжатие (или растяжение), которое характеризуется величиной а - средним нормальным напряжением, и сдвиг, описываемый тензором Z)„ - девиатором напряжений. Таким образом, имеем

(3.4)

(3.5) 19