Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 [ 3 ] 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

ва основе (2.7) df будет равен скалярному произведению вектора а на вектор dS, т. е.

df = a-dS.

(2.8)

Полный поток вектора а через поверхность S равен сумме элементарных потоков или, в пределе, интегралу

F= a-dS.

(2.9)

Поток вектора, определенный фомулой (2.9), является скалярным потоком. Пусть теперь имеем некоторый объем V в векторном

поле, ограниченный замкнутой поверхностью S. Составим отношение полного потока i", определяемого формулой (2.9), к объему V. При стремлении объема V к нулю уменьшается и поток вектора F через поверхность S. Однако отношение F/V даже при V -*-0 может оказаться величиной, отличной от нуля. Это отношение называется дивергенцией (расхождением) векторного поля а (М) и обозначается как div а. По определению,

Рис. 5. Элементарная площадка ASx,z

diva = limTpr V

В теории поля доказывается, что

J. дйг I дац , да.

(2.10)

(2.11)

где а, Uy и а.-проекции вектора а на оси ж, у и z.

Как видно, дивергенция векторного поля - величина скалярная. Пусть имеем векторное поле градиента некоторой скалярной величины, например опять давления р. Дифференциальный оператор, соответствующий дивергенции векторного поля градиента, называется лапласианом и обозначается обычно символом Д (дельта). Для приведенного выше примера градиента давления р имеем

A/? = div grad p.

(2.12)

Иногда для дифференциальных операторов grad и div используют символ Y (набла). Тогда оператор у, называемый гамильтонианом, от скалярной величины р будет означать градиент давления VP = grad р, а от векторной величины - дивергенцию. Двукратное

применение оператора у сначала к скалярной, а затем к векторной величине равнозначно применению оператора Д, т. е. Др = р.

Циркуляцией Г вектора а вдоль некоторой линии I называется криволинейный интеграл

T=\adl. (2.13)

Пусть в некоторой точке О поля вектора а (рис. 5) имеем элементарную площадку Д5 2 - xAz, перпендикулярную к плоскости X, у. Примем для простоты, что в точке 1 проекция вектора а на ось Z равна а, а в точке 2 его проекция на ось х равна а. Вычислим теперь циркуляцию вектора а по границе элементарной площадки ASx,z При вычислении циркуляции по линии 1-2 будет иметь значение только проекция а, так что остальные проекции не учитываем. При вычислении же циркуляции по линии 2-3 нужно учитывать только а. Вычисляя циркуляцию ДГа вектора а по элементарному контуру 1-2-3-4, получаем, пренебрегая величинами более высокого порядка малости,

Д Га.., = (а. +1 Д.) Д. - (а. +1 Дх) Дх -

1 """.Az

Вычислим теперь отношение циркуляции вектора а по элементарному контуру ДГа J к площади AS г = ДхДг. Имеем при Д5,,, -V О

2ДГ£ . (2.15)

Величина (2.15) является проекцией на ось у векторной вели-чины, называемой вихрем вектора а (векторного поля а) и обозначаемой rot а. Таким образом, для проекции на ось у вихря вектора а имеем выражение

Проекции вихря вектора а на другие оси координат выражаются следующим образом:

Для самого вектора rot а имеем выражение

"»"=- )+- ) 7+ - If) - <2-")

Из выражений (2.11) -и (2.18) следует, что дивергенция вихря любого векторного поля равна нулю.

Ниже приводятся важнейшие интегральные соотношения теории

поля. Согласно теореме Остроградского, поток вектора а через замкнутую поверхность 2 равен интегралу от дивергенции вектора

а по объему F, заключенному внутри 2> т. е.

\\aQdy\\\ AiyadV. (2.19)

По теореме Стокса циркуляция вектора а по некоторой замкнутой кривой L равна потоку вихря вектора а через любую поверхность S, ограниченную кривой L. Следовательно,

JaOd= JJrota.d5. (2.20)

В формулах (2.19) и (2.20) имеются в виду скалярные произве-

дения соответствуюпих векторов на элементарные векторы d2>

dLn dS. Если имеется такое поле вектора а, что rot а = О, то подынтегральное выражение в формуле (2.20) равно нулю и равна нулю

вся правая, а также левая часть (2.20), т. е. циркуляция вектора а по замкнутой кривой L равна нулю. Такое поле называется потенциальным или безвихревым. Рассмотрим теперь снова векторное ->-

поле а (М) и вычислим производную векторного поля в точке М по некоторому направлению п в пространстве. Имеем

дп дп + + дп •>

В свою очередь производные проекции вектора а на оси координат определяются следующим образом:

дйг дйг / ч I дйх i \ I дЛх / \

ЧГдТ n) + -acos(y, n)-f - cos(z, n); =cos(x, n) + cos(y, „) + cos(z, n); = eos(x, «)-fcos(y, «) + cos(z, «).

(2.22)

dn - dx " dy " dz

Таким образом,производная векторного поля по некоторому направлению п определяется девятью компонентами: dajdx, dajdy, dajdz, dUyldx, dUy/dy, dUyjdz, daJdx, daJdy, dajdz и косинусами между направлением n и координатными осями. Если брать производные

векторного поля а (М) в точке М по другим направлениям, то также