Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 [ 27 ] 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

в формуле (3.4) рп - плотность пористой среды; V„ - рассматриваемый объем пористой среды.

Масса жидкости, насыщающей рассматриваемую массу пористой среды, обозначается М, так что

My = pmV„. (3.5)

При постоянном объеме пористой среды V„ = const из (3.5) получаем уравнение неразрывности в следующем виде:

Мж = const; dMy = V„d [рут) = 0;

= +divmpJ, = i + divpj;=0, (3.6)

где - средняя скорость движения жидкости в пористой среде, причем

l-i- (3.7)

При выводе уравнения сохранения массы фильтрующейся жидкости (уравнения неразрывности) в элементе пористой среды постоянной массы следует положить

М„ = const, dM„ = d (p„Fn) = О

п = --Фп. (3.8)

Из (3.5) получаем

Мж = const; dMy = d{pymV„) = 0;

d(mp«)-m-dp„ = 0. (3.9)

Если пренебречь движением пористой среды, получим уравнение неразрывности в следзгющем виде:

- + 1»Рж- о- (3.10)

Учитывая (3.1) и (3.2), а также осредняя р, иэ (3.10) получаем

("гРж+Рп-)- + <11у; = 0, (3.11)

где р„ - сжимаемость материала пористой среды от давления жидкости.

Можно, далее, положить

Р = пгРж + Рс; Рс = Рп-. (3.12)

Величину р принято называть по предложению В. Н. Щелкачева упругоемкостью пласта.

Используя в формуле (3.11) закон Дарси, получаем уравнение фильтрации сжимаемой жидкости в сжимаемой пористой среде:

(3.13)

Уравнение (3.13) называют также уравнением упругого режима. Величина к называется ньезонроводностью.

Уравнение (3.13) вполне аналогично классическому уравнению теплопроводности, полученному французским математиком Фурье в XIX веке. Поэтому все созданные в классической теории теплопроводности методы могут быть непосредственно применены и в теории неустановившейся фильтрации жидкости при упругом режиме.

Процессы неустановив-

шеися, как и установившейся, фильтрации жидкости в однородных пластах в настоящее время достаточно подробно изучены подземной гидродинамикой [18, 38, 39, 60, 126]. Изложение здесь во всех деталях вопросов фильтрации заняло бы много места. Ниже рассмотрим лишь наиболее простые и вместе с тем практически важные случаи фильтрации при упругом режиме. Начнем с задачи о притоке упругой жидкости из нолубесконечного упругого пласта к галерее. Пусть на границе (галерее) пласта х = О (рис. 47), давление жидкости в момент времени t О стало равным р. До этого давление во всем пласте было равным р,. Уравнение фильтрации в этом случае принимает вид:

Распределение давления в пласте

(3.14)

Начальное и граничные условия:

р = р„ при х = 0, f = 0; Р=Рк при х- оо, Ц p = Pi при X = о, t.

Введем величину / = . Тогда условия (3.15) перепишутся

Pi -Рк

(3.15)

в виде:

/ = 0 при х==0, = 0; /=0 при X -V оо, t / = 1 при х = о, t.

(3.16)

Величина / может зависеть только от координаты х, времени t и пьезопроводности и, т. е. / = / (х, t, к). Применяя анализ размерностей, получаем

= 77- (3.17)

Подставляя (3.17) в (3.14), получаем следующую задачу:

Г + Г = 0; (3.18)

/ = 0 при /=1 при 1 = 0.

Интегрируя (3.18), имеем

jexp(--)dl-f С. (3.19)

Учитывая условия (3.18), получаем

Ci=--At;, C2=i (3.20)

или окончательно

(3.21)

Часто вместо переменной выбирают z = --. Тогда вместо (3.21) получается

/=l-erf(l), erf () = -i-\exp(-z2)dz. (3.22)

Функция erf (I) называется интегралом вероятности. Она зата-булирована в математических справочниках.

Интересно отметить, что распределение функции / или давления жидкости с течением времени не стремится к распределению, характерному для установившейся фильтрации. Это объясняется тем, что рассмотренная выше задача по своему физическому смыслу представляет собой задачу об истощении полубесконечного пласта. Таким образом, давление в пласте, начиная с х = О, непрерывно стремится к граничному значению pi.

Рассмотрим теперь задачу о притоке жидкости к скважине очень малого, «нулевого», радиуса в бесконечном плоском пласте при упругом режиме.

Пусть в начальный момент времени = О давление жидкости в пласте было равно р. При f > О из скважины нулевого радиуса начинают отбирать жидкость с постоянным расходом q, т. е. в скважине имеем граничное условие