Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [ 10 ] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

в рассматриваемом случае и Сте являются главными напряжениями. Положим (Т, = (Tj, (Те = (Тг = о. Тогда, используя также (7.5), получим из (7.10)

В формуле (7.11) звездочкой сверху помечены предельные значения соответствующих напряжений, при которых внутренняя стенка полости начинает разрушаться. В случае ро = О при г = го

= 3/2gr. Тогда

:}д = а + ЬдЬ (7.12)

При а = 9,81-10» Па = 100 кгс/см2, b = 0,7, ql я« 6-10 Па = = 610 кгс/см2.

Таким образом, шаровая полость при данных условиях может выдержать довольно значительную нагрузку - ведь предельное напряжение в 6-10Па может соответствовать глубине залегания пород порядка 2400 2500 м.

Приведем теперь без промежуточных формул еще одно весьма важное для горного дела решение задачи теории упругости о деформации среды вокруг вертикальной выработки цилиндрической формы (ствола шахты или скважины).

Уравнение равновесия упругой среды, определяющее радиальное смещение, имеет в этом случае вид:

(i + i) = 0. (7.14,

Распределение напряжений осесимметричное. При г оо = = дг. ст, = ое = goo, а при г = р, = Ре- Тогда

(Уг = дсо-{доо~Рс); (7.15)

CTe = gco+(gco-Pc)7l.

Выражения (7.15) известны в теории упругости как формулы Лямэ. Если Р(. = О при г = Гс, имеем ст, = О, Сте = 2 Зоо-

Если требуется определить прочность необсаженного ствола скважины или шахты, то следует использовать зависимости интенсивности касательных напряжений от среднего нормального напряжения, подобные приведенным выше.

Рассмотрим теперь примеры напряженного состояния среды, зависящего от двух координат, например хиу. Как и в приведенных выше решениях, деформация будет считаться статической.

Уравнения равновесия и условия совместности деформаций принимают теперь следующий вид:

day ду

дз дхду

(7.16)

Задачи теории упругости, в которых напряжения и деформации описываются системой уравнений (7.16), называются плоскими.

Решения этих задач получаются с использованием теории функций ком- плексного переменного [80]. При этом смещения й напряжения выражаются через аналитические функции комплексного пе-ременного z = х-\- iy. Смещения и & v соответственно вдоль осей х ти. у представляются в комплексной форме следующим образом:

Рис. 15 Щель шириной

2р(» + 1) = Хф(2)-2- Я](2),

(7.17)

где ф (z) и -ф (г) - аналитические функции комплексного переменного Z, X = 3-4 V.

В формуле (7.17) чертой сверху помечены соответствующие сопряженные функции комплексного переменного z. Выражение dф/dz есть сопряженное значение производной функции ф по переменному Z.

Напряжения (Т, (т„ и т, определяются формулами

(7.18)

Приведенные выше формулы Лямэ справедливы, как это следует из сказанного, для случаев, когда давление на поверхность шахтного ствола или скважины является равномерным и сама среда нагружена равномерной, не зависящей от направления радиуса нагрузкой. С помощью методов решения плоских задач теории упругости можно определить напряженное состояние и тогда, когда нагрузка на контур круглого отверстия в плоскости является несимметричной, а также когда отверстие не является круглым.

Пусть, например, в безграничной плоской упругой среде имеется очень тонкая щель (рис. 15) шириной wo и ,длиной 21, причем и;о < <g 21. Таким образом, данную щель можно считать бесконечно тонкой трещиной. Среда на бесконечности сжата напряжением qa, а внутри щели к ее поверхности приложено давление р. Поскольку в дальнейшем будет приниматься во внимание лишь дополнительная деформация среды, т. е. не будет учитываться ее деформация от всестороннего сжатия напряжением оо, можно считать, что напряжение на бесконечности равно нулю, а па контур щели действует напряжение Р = р-goo-Решение этой задачи теории упругости получим методом И. И. Мусхелишвили [80], для чего применим следующие данные им формулы:

2р {и + iv) = хф (С) - {ЙО;

(7.19)

f{a)il FndS = i(о„, + ia„y)dS.

Во вторую и третью формулы (7.19) входят интегралы типа Коши. В эти формулы входит также конформное преобразование области комплексного переменного z = х + 1уъ область комплексного переменного I,, реализуемое функцией 0) (С) = Z. При этом в формулах (7.19) обозначено t, = ре* (р и д - переменные в новой плоскости Q. Если в плоскости комплексного переменного Z контур «выемки» в сплошной среде, т. е. в щели, представляет собой два примыкающих друг к другу отрезка прямой длиной 21 (см. рис. 15), то в области комплексного переменного 1 этот контур принимает иную форму в зависимости от вида функции (О (Q. Символом о обозначено значение переменного t, па контуре

при р = 1, так что а = е*. Это обозначение не следует смешивать со средним нормальным напряжением, которое в теории упругости по традиции также обозначается символом о. Усилие, действующее на произвольный контур к в плоскости Z = х-}- iy, обозначается Р„ (рис. 16), причем Р„ = + io„y.

Рис. 16. Действие усилий контур dS