Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 [ 5 ] 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

1 о о

г1 = 0 1 о о о 1

ху

Су -а

<-уг

(3.6) (3.7)

Величина Ti называется единичным тензором.

Аналогично напряженному состоянию разделяется и деформация, для чего вводятся понятия девиатора деформаций Dg и девиатора скорости деформаций Z)g в виде:

Входящие в выражения (3.8) и (3.9) величины е и определяются следующим образом:

e = ej. + ej,+E; (3.10)

+ 1у+%г. (3.11)

В теории напряжений и деформаций важное значение имеют величины

Sr = {у [((Тг - a,f + (Оз - Оз)2 + (Оз - a,f]Y •; (3.12) Бг = (у [(ег - е,) + (е, - 83)+(83 - e.fjf. (3.13)

5т; называется интенсивностью касательных напряжений, а Eg - интенсивностью сдвига.

Величины 8, сг, , 5» являются инвариантами - они не зависят от выбора направления осей координат.

Изложенные вшпе основные понятия теории напряжений и деформаций применимы по отношению к любой деформируемой сплошной среде - вязкой, упругой, пластичной - и могут быть использованы для описания связей между напряжениями и деформациями для любых тел. Эти связи называются реологическими уравнениями состояния.

§ 4. УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

В динамике сплошных сред рассматриваются силы, действующие на элементарный объем материальной среды dV = dx dy dz, ускорение и скорость движения этого объема среды. Кроме того, учитываются, хотя и не во всех случаях, факторы, вызывающие диссипацию энергии, например силы вязкости, а также изменение самой энергии.

Будем считать, что на элементарный объем среды действуют нормальные нанряжения а, Су и о, касательные нанряжения Хху, Хуг, Ххг И объемная сила с компонентами X, Y л Z.

В результате действия сил масса среды плотностью р, заключенная в элементарном объеме, в соответствии с законом Ньютона испытывает ускорение. Поэтому, обозначая полную силу, приложенную к элементарному объему среды, символом dP, а производную импульса но времени d (pv)ldt, получаем

dF=dy. (4.1)

Если спроектировать силы и ускорение на направление Ох и записать закон (4.1) в развернутом виде, получим

[ax + dx)dydz-а,dy dz + {xxy + dy) dxdz-

-rxydxdz+[xxz + dz)dxdy - Xxydxdy +

+ Xdxdydz = dxdydz-i. (4.2)

Из (4.2) после деления на dV имеем следующее уравнение:

-Ж + - + -дГ + ---5Г~-" (-

Проектируя силы, действующие на элементарный объем, соответственно на оси Оу и Oz, получим еще два дифференциальных уравнения, описывающих движение элемента сплошной среды:

9т:ху day , дХуг ,у d (pcVy) л. дх ду dz dt

дгх, , дх,

к + + Z-i% = 0. (4.4)

дх ~ ду

Система дифференциальных уравнений (4.3)-(4.4) справедлива при описании движения жидкости, газа или твердого вещества, вообще всякой сплошной среды. Если ускорение d {pcV)/dt = О, из (4.3)-(4.4) получаются так. называемые уравнения равновесия элемента сплошной среды.

Система дифференциальных уравнений (4.3)-(4.4) не является замкнутой - число неизвестных величин, входящих в уравнения

превышает число уравнений. Для получения замкнутой системы уравнений, описывающих движение сплошной среды, необходимо использовать зависимость между напряжениями и деформациями или скоростями деформаций, присущую данной сплошной среде как физическому телу. Для замыкания системы дифференциальных уравнений (4.3)-(4.4) используются также законы сохранения вещества и энергии.

Рассмотрим в качестве примера сплошной среды вязкую жидкость.

Выделим элементарный объем жидкости abed длиной dx, высотой dz и шириной, измеряемой в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа, равной единице (рис. 8). Скорость течения изменяется с изменением координаты z. Например, скорость течения

V .

Ь с

Рис. 8. Деформация объема вязкой жидкости аЬсА

В плоскости ad равна v,, а в плоскости Ьс она равна уже -\--f {dvjdx)dx. Поэтому, если следить за изменением ранее выделенного объема abed, то этот объем через промежуток времени dt исказится и примет форму abcd. Можно также рассматривать не изменяющийся во времени объем пространства dV, в который втекает и из которого вытекает жидкость.

Ньютон предложил для жидкостей следующую зависимость между напряжением сдвига т, возникающим на гранях аЬ, cdmab, ed, и производной скорости по соответствующей координате:

Коэффициент пропорциональности р называется коэффициентом вязкости или просто вязкостью жидкости. Экспериментальные исследования течения вязкой жидкости подтверждают зависимость (4.5). Однако она выполняется не для всех жидкостей, хотя класс этих жидкостей весьма обширен. К нему, например, принадлежат вода, множество различных масел, нефтей и нефтепродуктов, многие органические жидкие вещества и т. д. Жидкости, при течении которых имеет место зависимость (4.5), называются ньютоновскими.

Вязкость р измеряется в пуазах (Пз), имеющих размерность PL~T. Слабоминерализованная вода при комнатной температуре обладает вязкостью около 0,01 Пз = 1 сПз 10"* кгс-с/см.