Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 [ 25 ] 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

Эквипотенциал данного течения представляют собой семейство окружностей, а линии тока - пучок прямых, проходящих через начало координат. Обозначая г = (а; -)-у2)1/2 и рассматривая течение между двумя концентрическими окружностями, легко получить формулу Дюпюи. Если г ->-0, имеем решение, определяющее течение к так называемому «точечному» источнику.

В трехмерном случае уравнение (2.3) принимает вид:

dip dip

(2.29)

Его решением, описывающим фильтрацию к точечному стоку расположенному в точке х - хо, у = уо, z - zo, будет выражение

4п.к

[{х- x,f +(y-y,)i-{-(z- Zof]-l\

(2.30)

Используя принцип наложения (суперпозиции) решений (2.30), а также считая, что q = q (хо, уо, zo), и выполняя соответствующие граничные условия, можно получить решения, описывающие установившуюся фильтрацию в трехмерных областях со сложной конфигурацией.

Рис. 42. Расположение точечных источника и стока

Вернемся теперь снова к рассмотрению некоторых случаев фильтрации в двумерной области, представляющих интерес для практики.

В качестве одного из примеров рассмотрим установившееся течение в пласте от источника к стоку и покажем, как, используя полученное решение, можно найти решение задачи об установившейся фильтрации к скважине, расположенной эксцентрично в пласте круговой формы. Используем методику решения этой задачи, данную И. А. Чарным [119].

Пусть в точке х - а (рис. 42) расположен точечный сток, а в точке X = -а находится точечный источник. Уравнение Лапласа, которому удовлетворяют функции Ф и Ч, линейно, и, следовательно, сумма двух решений этого уравнения также является его решением.

Поэтому можно немедленно выписать искомое решение в следующем виде:

F{z) = -lln{z-a)-ln{z + a)]. (2.31)

Отделяя вещественную часть в формуле (2.31), имеем

(а:-а)2-[-у2 L (a: + a)2--j/2 J

Уравнение эквипотенциалей в этом случае будет

= const.

(2.32)

(2.33)

Уравнение (2.33) является уравнением семейства окружностей, эксцентричных но отношению к источнику и стоку. Одну из окружностей можно принять за эквинотенциаль, а сток или источник можно приближенно считать имеющим малый, но не равный нулю радиус

Тогда можно считать, что в любой точке при г - потенциал постоянен и равен Ф. При у = О из (2.32) имеем

(2.34)

а при г -Гс приближенно можно полагать (см. рис. 42), что

x - а

х-{-а

х-уа 2а

(2.35)

Вертикальные линии в формулах (2.34) и (2.35) означают, что рассматривается абсолютное значение величины (х - а)/(х -\- а).

Из формулы (2.34) и рис. 42 вытекает, что при х = Ъ ш х = bi имеет место соотношение

Ъ - а а - &!

6 +о bi+a

(2.36)

Учитывая, что

2 - = и согласно рис. 42 b = а -\- Ь -\-4- Гк, а при X = b Ф = Ф, получаем

« 2nh Ь+а 2яА

Из (2.34) и (2.37) имеем

2я(Фк-Фс)

(2.37)

(2.38)

При отсутствии эксцентриситета, т. е. при б = О, из (2.38) получаем формулу Дюпюи.

При исследовании плоских течений широко применяется теория функций комплексного переменного и, в частности, конформное преобразование.

Рассмотрим, например, приток жидкости с дебитом q из бесконечного пласта мощностью h к тонкой щели (рис. 43) длиной 2 I.

Используем функцию Н. Е. Жуковского

=т(+т)- (-

Как было сказано выше, эта функция переводит окружности области комплексного переменного в эллипсы области комплексного переменного z. Пусть в области дана функция

1п? + С.

(2.40)

Она описывает течение жидкости в бесконечном пласте с круговым вырезом. Если перейти в область z, то формула (2.40) будет описывать течение из тонкой щели в неограниченный пласт.

Рис. 44. Батарея скважин в пласте

В качестве второго примера рассмотрим течение в пласте, имеющем в плане круговую форму и содержащем «батарею» из п скважин, расположенных по окружности радиусом го, концентричной по отношению к внешнему контуру пласта (рис. 44, а).

Можно, исходя из симметрии, рассматривать течение в одном секторе с углом 9 (см. рис. 44, б). Применим теперь следующее преобразование:

S=z". (2.41)

Оно производит «развертку» сектора (см. рис. 44, б) на полный круг.