Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 [ 6 ] 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

Для того чтобы получить, наконец, уравнения движения вязкой жидкости, нужно принять зависимость между девиатором напряжений Dq и девиатором скоростей деформации D.

Обычно используются две гипотезы: первая - о равенстве среднего нормального нанряжения а давлению жидкости р (с обратным знаком) и вторая - о несжимаемости жидкости, т. е.

а-р; (4.6)

1 = 0. (4.7)

Зависимость между девиатором напряжений и девиатором скоростей для вязкой жидкости имеет вид:

Z?a = 2pZ?j. (4.8)

После умножения каждого члена Z?j на 2р и приравнивания его соответствующему члену Dq получаем зависимость между компонентами нанряжения и производными от скоростей в следующем виде:

Рис. 9. Элементарный объем среды длиной Лх

a;t = 2p

а, = 2ра

<г = 2р--р;

Кду дх ) У-\ ду )

yг

dz дх )

(4.9)

Подставляя (4.9) в уравнения движения (4.3)-(4.4) и учитывая (4.7), получаем систему уравнений Навье - Стокса, описывающих движение вязкой ньютоновской жидкости:

djpmvx) .

Vy---

(4.10)

где Рз - плотность жидкости.

Как уже было сказано ранее, во многих случаях для замыкания системы уравнений динамики сплошной среды требуется использовать закон сохранения движущегося вещества, т. е. закон, или уравнение, неразрывности массы. Для большей наглядности получим это уравнение сначала в одномерном случае. Пусть слева (рис. 9)

в элементарный объем, имеющий форму параллелепипеда высотой h, шириной, равной единице, длиной Ах, втекает некоторое вещество плотностью р, а справа это вещество вытекает из элементарного объема. За время At в элементарный объем входит масса вещества, равная AM, причем

AM = pvhAt, (4.11)

где V - скорость движения вещества.

Справа из элементарного объема выходит следующая масса вещества:

AM-8AM = pvhAt-A{pv)hAt = pvhAt-hAxAt. (4.12) Приращение массы вещества в элементарном объеме эа время At

6M = hAxAt. (4.13)

Закон сохранения массы требует, чтобы было -AM = 8М,

Переходя в (4.14) к пределу, т.е. полагая Ах-у О, At-0, получаем уравнение неразрывности массы в одномерном случае

iJPil uiP .o. (4.15)

дх dt

Теперь можно вывести уравнение неразрывности массы в общем случае. Для этого рассмотрим некоторый объем среды V. Масса

вещества, содержащегося в этом объеме, составляет JpdF. Изме-

нение массы вещества в объеме V со временем t будет

Из объема V через поверхность 5 в единицу времени вытекает количество вещества, равное

- \pv-dS.

Приравнивая эти количества, получаем

JJJim+IJ-.O. (4.16,

По теореме Остроградского имеем

JJpy.d5 = JJjdivpydF. (4.17)

Внося (4.17) в (4.16), получаем

+ divpv)dV = 0. (4.18)

Выражение (4.18) справедливо для любого объема V. Поэтому должно быть равна нулю подынтегральное выражение в (4.18), т. е.

-e- + divp = 0. (4.19)

В определенных случаях, например при изучении фильтрации, уравнение неразрывности массы вещества является основным исходным уравнением. Связь между силами (давлением) и скоростями получается не путем интегрирования уравнений Навье - Стокса, а путем использования так называемых законов фильтрации.

При изучении движения сжимаемой жидкости (газа) используются термодинамические уравнения, описывающие связь между давлением, удельным объемом и температурой жидкости.

Для решения задач механики сплошных сред к приведенным выше уравнениям нужно добавить еще начальные и граничные условия. Начальные условия определяют распределение искомой функции или ее производных в начальный момент времени. Граничными условиями задается значение функции или ее производных на границе изучаемой области сплошной среды.

§ 5. ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Рассмотрим вначале течение вязкой жидкости в трубе, имеющей круглое сечение. Это течение является осесимметричным. Совместим ось Z с осевой линией трубы, а перпендикулярно ей направим радиальную координату г (рис. 10). Поскольку течение симметрично относительно оси z, уравнения Навье - Стокса для установившегося течения значительно упрощаются. Из трех уравне- х НИИ остается лишь одно / \ /

дР -„ ( dv I dv\ dz ~ Vara Тд?)

v = v{r\ v, = 0. (5.1)

Рис. 10. Труба круглого При этом, так как характер течения еечення

в каждом сечении трубы, перпендикулярном ее оси, является одним и тем же, перепад давления вдоль трубы dpidz должен быть постоянным, т. е.

. = c = const. (5.2)