Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 [ 1 ] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

При нахождении просветности п (относительной площади сечения, принадлежащей твердым частицам) проводится независимое осреднение по тому же сечению А5 достаточно большой площади. Будем считать, что результат осреднения не зависит от выбора реализации сечения, т. е. множество сечений S. однородно при определении просветности: п = Хз-

Можно представить, что область D среды разбита на множество элементарных объемов AF. Если окажется, что это множество является множеством однородных реализаций AF-, то область D однородна. Можно проводить в области D множество плоских сечений AS. Если таким образом составляется множество однородных реализаций А5., то это можно также принять за определение однородности области D.

Отсюда видно, что определение однородности среды связано с соответствующим способом осреднения.

Рассмотрим условия эквивалентности способов осреднения (1.2) и (1.3). Можно показать, что Ху = Xs, если среда однородна в смысле -осреднения. Действительно,

Хут- \x{M,x)dM=\im \ n{x,)dz,n (1.8)

при n{xj) п; п - просветность среды. Здесь 2bi - длина объема AF вдоль координаты х.

Отсюда, если выполнено условие однородности при -осред-нении, то в любом сечении среды выполняется фундаментальное равенство

Tij = (l-m)aij~mpeij, (1.9)

а значение пористости т можно определять как просветность произвольного шлифа (плоского сечения) пористой среды.

Если же среда однородна только в смысле F-осреднения, то из выражения (1.6) следует [181], что средняя просветность равна пористости: Пу - т. Примером таких сред являются регулярные упаковки шаров [131], у которых величина пористости определяется формулой

т = 1--„ , (1.10)

6(1-cose) /1-ь2созе

где 6 - параметр укладки шаров (угол ромба, составленного лпнпямп, соединяющими центры шаров; 60° 6 90°). В то же время мпнпмальное значенпе просветности (в плоскости, содержащей центры шаров) определяется как

Прп нахождении средних фазовых напряжений результат осредненпя будет зависеть от ориентации плоскости осредненпя, что, вообще говоря, приводит к появлению асимметричных тензоров напряженпй. Ниже, однако, все построения выполняются в рамках симметричной .мехаппкп: О/у = Oj. и т. п.

и, например, значению 9 = 90° соответствует наибольшее значение т = 0,4764, тогда как п„\„ = 0,2146. Таким образом, в регулярных средах нужно вводить по крайней мере еще одну геометрическую характеристику помимо пористости, например, величину (1.11), или же так называемую площадь контактов между микрочастпцаш! и т. д.

Здесь рассматриваются хаотически организованные пористые среды, для которых при нахождении осредненных характеристик внутренней структуры принимается допущение об однородности при 6-осреднении. Предполагается также, что в рассматриваемых средах масштаб области однородности D гораздо больше масштаба осреднения. Это предположение, собственно, было уже сформулировано как условие выбора элементарного макрообъема AV.

Итак, каждый элементарный макрообъем AV (т. е. каждая макроточка среды) характеризуется относительным объемным содержанием фаз, например твердой (1 - т) и жидкой т.

Исследованпю собственно хаотической микроструктуры пористой среды, закономерностей реализуемого в природе перемешивания твердых и жпдкпх частиц посвящено большое число работ, обзор части которых можно, например, найти в монографпт! [8], Здесь отметим только работу П. Дебая и др. [274] по рассеиванию рентгеновских лучей в пористых средах.

Что касается выбора способа осреднения, позволяющего вводить средние значения параметров фаз - плотности, напряжений, скоростей и т. д., - то он естественным образом определяется при переходе от уравнений, описывающих микродвижение (микросостояние) твердых и жидких частиц, к эффективным макроуравнениям совместного движения обеих фаз.

§ 2. КИНЕМАТИКА ЖИДКИХ ЧАСТИЦ В ФИЛЬТРАЦИОННОМ ПОТОКЕ

Рассмотрим закономерности перемещений жидких частиц, участвующих в общем потоке однородной жидкости в пористой среде. Представим, что имеется возможность фиксировать смещения отдельных меченых частиц. Перемешивание меченых частиц с остальной жидкостью внутри поры описывается обычным уравнением диффузии в движущейся жидкости, выписываемым для микрообъема жидкости:

-DoVC-Vi, (2.1)

где Xi - микрокоординаты течения; С - концентрация меченых частиц; D(, - коэффициент молекулярной диффузии; г - фактическая скорость движения жидкости в микроточке порового пространства. Будем называть величину г- - локальной скоростью жидкой частицы.

Осредним уравнение (2.1) по множеству микропотоков жидкости, находящихся в элементарном макрообъеме пористой среды AF = = AXjAXjAXg и фактически занимающих объем AF2:

] = I(VVF- ,f..4F, (2.2)

\V2 V: AV2

здесь Xi - макрокоординаты, используемые для составления осред-ненных уравнений (АХ, > Ажу), dV = dxdxdx.

Предположим, что все твердые частицы двигаются с одной скоростью (в частности, скелет пористой среды может быть неподвижен), скорость Vl измеряется относительно скорости смещения скелета в целом, а макрообъем AF жестко связан со скелетом среды. Тогда все границы области интегрирования А Fa фиксированы во времени и это сразу псзволяет записать уравнение (2.2) в виде

- j CViTiidS- ] CdV, (2.3)

где Абг - занятая жидкими частицами часть общей площади поверхностей, ограничивающих объем AF; 5 - площадь внутренней поверхности в объеме AF, разделяющей твердые и жидкие частицы. Здесь использовано также условие обращения в нуль скорости на поверхности S.

Если ограничиться потоком несжимаемой жидкости {дудх = 0), то последний интеграл справа тождественно равен нулю. В пренебрежении адсорбцией меченых частиц на поверхностях раздела в нуль обращается также второй интеграл справа - нет притока меченых частиц к поверхности S. Можно ввести среднюю концентрацию С меченых частиц в перовом пространстве AFj

Тогда уравнение (2.3) можно понимать, как баланс меченых частиц в макрообъеме среды, и представить в виде следующего макроуравнения (в системе макрокоординат X;):

= div Z)o grad С - м; grad С - div (?, (2.5)

где ki - единичный орт координатной оси X,; w - (по предположению, постоянная по объему) средняя скорость движения жидких частиц, определенная по площади A-Sa, занимаемой жидкостью, на одной из граней объема AF: