Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 [ 44 ] 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

(Гарднер [290]), Уилли, Грегори и Гарднер [327]), боковая поверхность которого свободна от напряжений. Решение этой задачи имеется в смещ,ениях, например: = 1° ехр {iyz + mt), = ехр (iyz + + ;coi), где 1 - компоненты смещения твердой фазы по радиусу по оси Z цилиндра. Функции /°, II выражаются через функции Бесселя /о (/г,г), i = 1,2, JI (hr), где hi, hTs. h - константы, определяемые волновым числом и скоростями распространения соответственно продольных волн I и 11 рода и поперечных волн. При это.м условия обращения в нуль нормальной и касательной нагрузок, а также порового давления, приложенных к боковой поверхности цилиндра, определяют дисперсионное уравнение, которое при незначительном влиянии жидкости в поровом пространстве сводится к известному частотному уравнению Похгаммера [101]. Полное дисперсионное уравнение весьма сложно, в связи с чем подробно исследуются частные случаи: низкочастотные и высокочастотные волны в тонких стержнях.

Отмечается наличие волн двух типов. Для низких частот выписываются выражения для скоростей распространения этпх волн, а также исследуется в зависимости от параметра Гд=1(х)ЬН/{ЕР - - (2]1/2 декремент затухания волн первого рода, причем отмечается, что при малых и больших значениях этого параметра декремент затухания обращается в нуль и достигает максимума, когда длина волны расширения второго рода примерно равна половине длины окружности цилиндра. Для относительно высоких частот (вернее для обычных частот в высокопроницаемой среде) учитывается возможность нарушения пуазейлевского течения в порах (см. § 11). Однако указанный параметр в некотором диапазоне частот также оказывается малым, хотя мала и величина отношения rJA (где Л - длина волны). При этом выписывается выражение для скорости распространения волны, переходящее при отсутствии жидкости в форму.лу Релея [101].

§ 17. СТРУКТУРА сильных УДАРНЫХ волн

в мягких НАСЫЩЕННЫХ СРЕДАХ

Ударные волны в пористых насыщенных жидкостью средах, как в гетерогенной среде, исследовались Г. М. Ляховым [133-135], который воспользовался, как уже указывалось в § 8, предположе-ппем о равенстве фазовых скоростей и напрял<ений [133], т. е. он считал среду фактически однородной (по с особым уравнением состояния), а фронт ударной волны при этом представлял в виде простого разрыва. В то же время более строгий и общий подход к механике гетерогенных сред требует введения модели с различными напряжениями и скоростями.

Из.ложенное выше исследование в акустическом приближении динамических процессов в мягких двухфазных средах показывает, что более быстрая волна характеризуется равенством давлений в фазах. Эта волна давления является наблюдаемой волной в насы-

щенных капельной жидкостью пористых средах и распространяется как в однофазной среде с одним неравновесным (релаксирующим) параметром. Ударные волны в релакспрующих средах характеризуются весьма размытой структурой - тонкий ударный переход, определенный обычной вязкостью и теплопроводностью, заменяется на относительно широкий релаксационный слой. Отсюда учет реальной двухфазности позволит исследовать структуру фронта ударной волны в насыщенных пористых средах.

Примем предположение, что ударный фронт в мягких насыщенных средах формируется возмущениями, приносимыми звуковыми волнами I рода. При этом структура фронта ударной волны будет определяться условием равенства фазовых напряжений, и для ее изучения воспользуемся системой уравнений X. А. Рахматулина (3.26) с учетом, однако, в выражении для силы межфазового взаимодействия дополнительного члена, пропорционального квадрату относительной скорости движения фаз.

Для изучения структуры фронта будем предполагать, как обычно, что в подвижной системе координат = а; - Ut реализуется одномерное стационарное движение, которое может быть, вообще говоря, разрывным. В этой системе координат уравнения движения (3.26) и неразрывности (3.11), (3.19) принимает вид

Jp,m{w-U)-\-0, (17.1)

р2- + р2 {w- U)--\---m{i-m){w-u)b{w-u) = 0,

(17.2)

£(ilZl + (1 m) p, (.- C/) = 0, (17.3)

+4mMw-U) = 0 (17.4)

П дополняются следующими двумя уравнениями состояния фаз:

Pl /li-pixi(p-po) Р§ 1

(17.5)

Р2 ~ /1-ЬР2Х2(Р-/п)

где Pl, Рз - сжимаемости фаз; Xj, - коэффициенты, вообще говоря, зависящие от энтропии фаз.

Если твердая фаза составлена из частиц кварца, а жидкостью является вода, то, как известно, коэффициенты можно считать постоянными при изменении давления до величин порядка 10 ат. Ограничимся здесь рассмотрением ударных волн такого диапазона

давлений, при котором материалы фаз практически могут считаться баротропными, Hi = const. При этом существование сильных разрывов обусловлено нелинейностью уравнений движения и уравнений состояния (17.5).

В силу предположения о стационарности движения в подвижной системе координат все переменные зависят только от I, = х - vt (решение типа бегущей волны). Тогда уравнения (17.1), (17.3)- (17.4) сразу интегрируются и приводят к следующим соотношениям, справедливым во всей области движения:

(1 - те) piul + mpiWl +р = poU + Ро, (17.7)

(l-m)pii,=-(1-то)р»С/, (17.8)

mpiW=-гпорои. (17.9)

Здесь введены скорости и> движения фаз относительно подвижной системы координат

и = и - и, w = w - U, (17.10)

а также использовано условие, что в область движения включено состояние покоя, где т = тп, pi = pi, Рг = Рг, а также м = и» = О, т. е. = = -U.

Уравнение (17.2) также несколько упрощается

P2W,,+ + rn(i-m)(w-u) + b{wuY = 0. (17.11)

Заметим, что при сильных динамических возмущениях относительная скорость фаз, т. е. разность {w - и.), может быть велика. Этот факт учтен в уравнении (17.11), где введена дополнительная сила межфазового взаимодействия, пропорциональная квадрату относительной скорости (другими словами, здесь введен двучленный закон фильтрации).

Из уравнения (17.11) следует, что вдали за фронтом распространяющейся волны (т. е. при L, оо) среда приходит в равновесное состояние (обозначим его индексом В), которое характеризуется равенство!! скоростей фаз: и = w. Подстановка этого соотношения в уравнения (17.0) -(17.8) приводит пх к виду

[(1 - /тг,) pf + mjpf] (tB)2 + = р„С/2 + р„, (17.12)

{\-mj)pfuB=-{\-mo)plU, (17.13)

т9иУ=-т\и. (17.14)

Полученные выражения связывают параметры, характеризующие равновесное состояние покоя (при -> --°), с параметрами равновесного состояния 5, возникающего за прошедшим фронтом ударной волны. Таким образом, алгебраические уравнения (17.12)- (17.14) можно интерпретировать как соотношения на фронте ударной