Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 [ 39 ] 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

Био рассматривает прогиб грунта, т. е. = (i 2 ~ 0), и находит для него следующее выражение (v = 1/21(1-fXg)"):

о Л sin axi j

В A sin ax

erf (a l/(l-v) +

-•r(l-v)erf («/c7)) =;/(v, (14.26)

где erf (x) = J e du - интеграл вероятности. Осадка под о

действием изменяющейся скачком нагрузки 022 = О при <С О,

<22 = <7* при > О определяется из выражения

2Ва..

1-По

f (у. а) а2

X (14.

da . (14.27)

Био получает аналитическое выражение для 1\ в частном случае V = О

/ x

*(v = 0) = 2cr,]/

1 + /

(14.28)

2/ST 3,24+ g2 •

При V = О приходится прибегать к численному счету. В работе В. 3. Пар-тона [176] вычислялись графики зависимости 1\ {х для различных моментов времени, а также изменение во времени порового давления. Как и следовало ожидать, постановка начального условия по Био {е = 0) соответствует такому начально.му распределению давления

V(.xi,x2, 0)=о* (1-j-i-arctg

(14.29)

которое наблюдается при приложении к свободной поверхности (0 х оо) постоянной нагрузки типа жидкий поршень. Стационарное решение (14.29), получающееся при приложении нагрузки со стороны жидкости, хорошо известно в литературе [181, 214].

Рассмотрим теперь общий способ построения некоторых решений системы (14.1), предложенной Мак Нами и Гибсоном [309]. Прежде всего эту систему в плоском случае можно записать в виде

V.+ (2ri-l)-73=0.

V. + (2n-l)-(,zif =0. (14.30)

Из первых двух уравнений (14.30) следует

V(f + 2(1-то)>12Ле) = 0, (14.31)

т. е. можно полагать

cr = 2(l-mo)2 (-rie), (14.32)

где S - функция х п у, удовлетворяющая уравнению Лапласа. Далее вводится функция Е (х, у) такая, что

; дЕ . dS , дЕ dS ооч

а следовательно,

e = v£, cr = 2(l-mo)2(-Tiv). (14-34)

Тогда система уравнений (14.30) сводится к следующим двум:

В осесимметричном случае система уравнений консолидации представляется в виде

(v-);,-(2,-i)4:-j::i£ = o,

где/, /г-компоненты смещения твердой фазы но осям г, z, и вполне аналогично

c,v£ = V4f. V = 0. (14.37)

Решение собственно уравнений (14.37) предлагается строить с использованием метода интегральных преобразований [207].

Метод Мак Нами - Гпбсона был использован при решении осеспмметрпчной задачи уплотнения насыщенного полупространства под действием приложенной к свободной поверхности нормальной нагрузки [177], где вычислена величина прогиба при сосредоточенной силе, приложенной к скелету, и прп равномерно распределенной по площади круга. Контактная задача была рассмотрена В. 3. Партоном (178). Задачи со сферической симметрией изучались Иосселин де Жонтом (J. Appl. Phys., vol. 24, N 7, 1953, LGM - Mededelingen, vol. 7, 1963, p. 57; vol. 8, 1964, pp. 25 and 53).

Отметим здесь обзор работ по теории консолидагии, выполненный Дерзким, а также опубликованные им статьи [281]. В первой из них для общей системы уравнений консолидации Био (т. е. для системы (5.1)-(5.V) без инерционных сил) выписывается выражение для работы внешних сил, а затем обобщается теорема Бетти классической теории упругости о взаимности перемещений на

рассматриваемый случай двухфазной среды (см. также статью Геертсма [298]). Затем с использованием полученных результатов выписывается решение задачи о распределении порового давления и смещений фаз в бесконечной среде прп воздействии точечного источника жидкостп. Во второй статье Дерзкий выписывает уравнение сплошности двухфазной среды (13.4), а также получает только что указанное решение непосредственно из уравнений квазистатпческого равновесия в форме Био.

На последнем этапе консолидации глин (так называемая вторичная консолидация) становятся заметными вязко-упругие деформации скелета среды [223]. Вязко-упругие деформации сдвига изучались в работах Мерчента, Тейлора [316], В. А. Флорина [214] и других Тан Тьонг Ки, воспользовавшись интегральным преобразованием Лапласа, рассмотрел классическую задачу одномерной плоской консолидации грунта, обладающего сдвиговой вязкостью [205]. Полученное решение нетрудно обобщить таким образом, чтобы учесть существенную для грунтов объемную вязкость.

Объемная вязкость пористых сред исследовалась Рейнером [188] п другими. В работах Рейнера [188] отмечались следующие характерные данные: объемная вязкость асфальта при расширении = 2,9 Ю пз, объемная вязкость бетона при сжатии S = 9,4 101пз. Можно думать, что подобные свойства присущи и некоторым естественным пористым горным породам. Так, Геертсма отмечает [292], что объемная вязкость существенна у известняков и доломитов.

В вязко-упругом теле (Максвелла) связь между напряжением п объемной деформацией определяется соотношением [216]

и характерное время релаксации наиряженпя после задания деформации среды оказывается равным т = цк. Пусть К - (10-106) ат. Тогда значениям I- (1012-IQi) Пз соответствует диапазон изменений т - (105-10») сек = = 1 сутки-10* суток - характерное время объемного вязкостного теченпя по порядку величины может быть весьма близко к характерным временам обычных квазистатических процессов деформирования пористых сред (консолидация, упругий режим фильтрации).

Рейнер отмечает, что если необратимое изменение плотности пористого материала под действием изотропной нагрузки растягивается во времени, то мы имеем дело с объемным вязкостным течением. Если же это изменение происходит мгновенно, то оно описывается законами объемной пластичности, т. е. необратимые деформации при быстром (например, ударном) нагружении носят пластический характер.

Формулировке законов объемной и сдвиговой пластической деформаций (и их взаимодействия) посвящена обширная литература, в том числе [172, 175, 216]. Обсуждение этой проблемы выходит за намеченные рамки настоящей кнпги.

§ 15. СКАЧКИ ДАВЛЕНИЯ И НАПРЯЖЕНИЯ В СИЛЬНО СЦЕМЕНТИРОВАННЫХ ПОРИСТЫХ СРЕДАХ

Для нахождения скоростей распространения v, Vj, и коэффициентов затухания Ьд, bi, скачков давления и напряжения в сцементированных насыщенных пористых средах воспользуемся отмечавшимся

1 См. также Ю. К. Зарецкий «Теория консолидации грунтов». М., пзд-во «Наука», 1967; G. de Josselin de Jong. Geotechnique, June, 1968, p. 125-228.