Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 [ 38 ] 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

Остановимся теперь кратко на работе [256], в которой излагается общий метод решения задач медленного деформирования насыщенной пористой среды. При этом Био исходит из системы уравнений (§ 6), эквивалентной системе (5.1) -(5.IV), (5.VI), пренебрегая, естественно, инерционными силами. В этом случае относительно перемещений

фаз Zj, /а система (5.1)-(5.IV), (5.VI) запишется (см. табл. 2) в виде

(1 - /По) 2 vTi + ( + <? - (1 - о) I2) grad е + + ((?+Л) grad 6 = 0

P = A + 2{i-mo)X2=A+2N

Введем теперь новые неизвестные 1 и ц>, такие, что

t 7 R+Q 1 Т 7 , P+Q л h = grad9. 2 = 0 + -H-grad9,

To-Ti = gvadff, (14.9)

где H = P-\-R2Q (см. табл. 2). Тогда система (14.8) примет вид:

(1 - /По) 2 v"o ( - (1 -гпо) К) grad бо = О, (14.10)

((?+Д)ео + .уЧ = *4г 6o = divZ;, К = 1Ё, (14.11)

причем если равенству смещений = I2 при i = О соответствует начальное условие ф = 0. Уравнения (14.10) могут быть решены отдельно от (14.11) и совпадают с уравнениями обычной теории упругости. Их общее решение, определяемое методом Бусинеска - Панковича, имеет вид

1о = -grad (to + rt) + -jjY

(14.12)

где вектор г имеет компоненты х, Хг, х, а функции о Ф удовлетворяют уравнению Лапласа: уФо = О, yi)) = О-

Из уравнении (14.11) в сплу следующего из (14.10) условия уво = О пол5чим

Q + R

(14.13)

где ф1 удовлетворяет уравнению теплонроводности

(14.14)

а величина может быть выражена через векторную функцию

eo = divZ; = -divi. (14.15)

Отмечая этот метод решения общей задачи консолидации, Био предлагает для дальнейшей детализации решения применять интегральное преобразование Лапласа [207].

Другой способ построения решения, предложенный Био в той же работе [256], применим в задачах о плоской деформации и основай на введении функций напряжения Эйри F (х, Xg):

При этом система уравнений равновесия среды сразу удовлетворяется, а функция F (Xi, х) и давление в жидкости р определяются из системы уравнения совместности деформации

{PR - v* +2N{Q + R) тпо V V = 0 (14.17)

и уравнения относительного движения жидкости

(PRQ2 ,Yrnoyp bm,{H-N) = {Q + R)VF.

(14.18)

Исключение отсюда функции F приводит к уравнению

Ку*р = Ъур (14.19)

того же типа, что и уравнение (14.7), тогда как для функции напряжений F справедливо следующее уравнение:

Ky«F = hy*F. (14.20)

Эти результаты можно использовать при исследовании уплотнения сцементированных насыщенных сред (скальных пористых, водонасыщенных пород).

Био показывает далее, что при отсутствии деформации чистого

сдвига (i3 = 0) давление в жидкости будет удовлетворять обычному уравнению теплопроводности {Кур = b (didt) р). Примерами такого деформирования служит одномерная задача консолидации Терцаги - см. уравнения (14.3) - (14.6), а также указанные Геертсма [291] осесимметричные процессы уплотнения в условиях плоско-деформированных и плоско-напряженных состояний. В первом из этих двух типов осесимметричных задач эффективным оказывается уравнение теплопроводности

-jrV p-Pi(l-mo) (l Pi) + p,mo-fy -(i mo)X-/ 5Г

(14.21) 125

а для задач второго типа:

VV = Pi (1 -то) (1 - Pi) + Ра/По +1 (1 + V)

(l-(l-mo) PiK)2 \ др (l-mo)X jdt

(14.22)

Для мягких пористых сред уравнения (14.21), (14.22) существенно упрощаются и описывают осесимметричную консолидацию, причем в согласии с изложенным выше их применение оправдано при приложении нагрузки типа «высокопроницаемый поршень», обеспечивающей отток жидкости из системы. Ранее, в работе Ю. П. Желтова и С. А. Христиановича [66], рассматривалось стационарное распределение напряжений при плоской деформации насыщенного жидкостью мягкого пористого пласта (PjX С 1 - сжимаемостью твердых •частиц пренебрегалось).

Уравнение теплопроводности применялось для решения многих задач консолидации [214, 223], в том числе таких, где оно не может заменить уравнения (14.7). К сожалению, вопрос о существенности вносимой при этом ошибки остается открытым. В то же время лишь в немногих задачах использовалась система (14.1).

Био рассмотрел плоскую задачу об осадке полубесконечного грунта под действием прямоугольно распределенной нагрузки [255]. При этом предварительно ищутся ограниченные на бесконечности смещения 1, 1 и возмущение порового давления р из-за приложения к свободной поверхности синусоидально распределенного нормального фиктивного напряжения

(t{j = (1-/По) (>iie-f 2?12)--sinaxi, 2 = 0 (14.23)

при отсутствии на ней касательных напряжений и порового давления. Соответствующее решение системы (14.1) в трансформантах Лапласа имеет вид

h= [Ciae--f Сзае" )" - Сз(1-ажг) eH cos ах,

- а2 + -

sin ах, (14.24)

sin ах,

где G = (1 - /По) 2> Cv = йо/Вц,, а постоянные Ci, С, Сц определяются указанными условиями на поверхности грунта {х = 0):

C2---2G

1-то

аС, = 0

(14.25)