Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 [ 69 ] 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

Но так как div {р2г) = 0 то имеет место соотношение

P2W grad {£[ -iig е(".-) С-"")} = 0. (23.25)

Это означает, что величина

TJ/ PiMa flJS) (р-р.) Pl I Ц! I /оо одч

"-шш) --

постоянна вдоль линий тока. Если на какой-нибудь замкнутой кривой величина W не изменяется, то она будет постоянна по всей области, расположенной внутри указанной кривой.

Из практики добычи нефти известны многочисленные случаи, когда скважины давали в течение длительного времени постоянный дебит с постоянной обводненностью W. В условиях высоких градиентов давления наличие такого притока говорит о возможности существования рассматриваемых установившихся двухфазных течений. Теория таких течений для недеформируемых пористых сред была рассмотрена М. Маскетом [141].

Соотношение W = con.st позволяет определит!) S по известному р, т.е. допустимо следующее представление:

рЯ =-Щи{8 (р)) е (Р-Р«)gradр = grad. (23.27)

Ма Ра

Таким образом, функция будет удовлетворять уравнению Лапласа во всей области, где W = const, d# = {S (p) exp { (p- - Po) 1 dp.

Приток второй фазы к скважине будет определяться формулой = (1ГЕГ/(())«"-"- (23.28)

Теперь перейдем к рассмотрению установившихся течений, при которых существенны капиллярные силы, в частности, исследуем задачу о распределении остаточной насыщенности вытесняемой фазы.

Насыщенность, например, второй фазы считается остаточной, если поток ее равен нулю [36]. В рассматриваемом случае зто условие имеет вид

f" = - 77(Й) """ ""= О (23.29)

что может быть при grad р - О, /2 (S) =ф О или же при /2 (S) = 0. Первое условие соответствует наличию в пористой среде заполненной

второй фазой разветвленной системы каналов, в которой устанавливается постоянное давление р,. Так как давление отличается от р2 на величину капиллярного скачка, то перепад давлений в подвижной фазе предопределяется капиллярными силами. Итак, пусть Рг = Pi - Рк {S) = const. Тогда

grad5=-Mp(5). (23.30)

S,°/o

Подстановка соотношения (23.30) в уравнение неразрывности показывает, что при установившемся двюкении функция v (S), как

и для недеформируемой среды [36], удовлетворяет уравнению Лапласа.

Из соотношения grad Pi = grad р (S) видно, что, где больше нереиад давления в движущейся (первой) фазе, там резче должно меняться капиллярное давление. Поэтому, если скелет пористой среды смачивается вытесняемой (второй) фазой (рис. 26, кривая 7), то увеличение расхода первой фазы ведет к возрастанию насыщенности S, которое будет происходить до некоторого предельного значения S, соответствующего асимптоте кривой р {S) при вытеснении.

При S = Sj относительная проницаемость вытесняемой фазы обратится в нуль. Этот момент соответствует разрыву системы каналов второй фазы - вытесняемая фаза остается в пористой среде в виде защемленных пузырьков. Если же нагнетание в пористую среду первой фазы прекращается до достижения Sj, в среде не только восстанавливается давление, но и выравнивается иод действием капиллярных сил насыщенность - система постоянно приходит в равновесное состояние.

Если скелет пористой среды смачивается первой фазой, то капиллярное давление будет велико только при малых значениях S (рис. 26, кривая 2). Это говорит о невозможности существования капиллярно удерживаемой остаточной насыщенности несмачивающей фазы, так как при больших значениях капиллярные силы становятся крайне незначительны. При таких значениях S давления pi и р2 становятся практически равными и остаточная насыщенность возможна только вследствие обращения в нуль относительной проницаемости второй фазы, что означает разрыв системы каналов.

Рис. 26. Безразмерное капиллярное давленне как функция насыщенности.

§ 24. основные автомодельные решения. первая и вторая фазы течения. проявления нелокальных эффектов

Особое место среди автомодельных решений уравнения (21.16) занимают два простых решения: плоско-параллельное нестационарное течение к мгновенно пущенной галерее при задании постоянного на ней давления и плоско-радиальный приток к мгновенно включенной с постоянным дебитом скважине. Автомодельность указанных задач отмечала еще Л. С. Лейбензон [131]. Численное решение последней из них для уравнения (21.12) при у = 2 приведено в работе [14].

Рассмотрим общий случай произвольного задания величины у в уравнении (21.12), которое представим в виде

" =хи1-1/гу2ц и = фт, k=yD\ (24.1)

При начальных и граничных условиях

и{х, 0) = 1, и(оо, 0 = 1. "(О, О = "с = const (24.2)

решение и (х, t) одномерной линейной задачи является автомодельным, т. е. зависит лишь от одной переменной: и {х, t) = и (), l,-xl\/2%t и удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

u-l-i + l = 0, u()/g=o = "c. и{1), = 1. (24.3)

Осесимметричная задача при начальных и граничных условиях и {г, 0) = 1, и(оо, t) = l, {гди/дг)г..оэ = -аХ (24.4)

также является автомодельной - искомая функция и (г, t) удовлетворяет следующему обыкновенному дифференциальному уравнению:

1==у=, «=1-у, "() = 1, loo, ldu/dl=-ka, 10. (24.5)

Теперь заметим следующее. Величина и всегда положительная величина, т. е. и и () 0. Однако при достаточно малом из второго гранично1о условия (24.5) имеем

и(1) = -Ха\п1,-\-А, Л = const,

т. е. ирп Яа > О физически необходимое условпе и () О выполняется, тогда как прп ->- О и при аХ <С О это неравенство ие