Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 [ 45 ] 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

волны в нредноложении, что на нем сразу, скачком равновесное состояние нокоя (м = = -U) заменяется на равновесное движение (м = И? =И= -Щ-

Поскольку оба состояния характеризуются равенством скоростей движения фаз, то полученные результирующие формулы для определения скачка давления - р со скоростью ударного фронта U должны совпадать с полученными в работе [133].

Прежде всего система может быть представлена в виде

-PoC"?+PB = Pot+Jo, (17.15)

{(l-B)pf + pf)uf=-p„C/, (17.16)

«в = "о(«-- + (1-«о))". (17.17)

Введем удельный объем рассматриваемой дисперсной среды

V---Ц-. (17.18)

(1-m)pi--mp2

Его значение в состоянии 5, если воспользоваться соотношением (17.17), можно представить в виде

"BPf + (l-"B)Pf +

= 0 {moPfvf + (1 - m„) plv), (17.19)

" po Pl P2

Формула (17.19) использована в книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лившица [119] (стр. 304) при рассмотрении задачи о затухании звука во влажном паре:

V = ilvy-{- clv„, (17.19)

где cJ = (1 - шц) р5/ро; <:\ = mopj/po - начальные массовые концентрации фаз; vy, ь\ - удельные объемы фаз.

Видно, что соотношение (17.19) связывает удельный объем дисперсной среды с удельными объемами фаз в условиях равенства фазовых скоростей.

В статье А. Н. Дремина и М. А. Карпухина [63] эффективная (для ударных воздействий) плотность Рэфф. двухфазной среды определялась как Рэфф. = 1/1В7 где Fjj вычислялось по формуле (17.19).

Если использовать введенную величину F, то соотношения (17.15) и (17.16) можно преобразовать к следующей, обычной для ударного скачка форме:

C/ = F§, {u?Y = V%. (17.20), (17.21)

1 Температурная неравномерность важна в связи с проблемой определения уравнения состояния вещества при высоких давлениях и температурах (см. [63, 71], а также В. Н. Николаевский. ПМТФ, 1969, № 3).

Первое из этих соотношений (17.20) можно далее записать в виде

pf Р?

Соотношение (17.22) было получено Г. М. Ляховым [133] для более общего случая трехфазной среды (водонасыщенный грунт с защемленным воздухом). Однако нужно помнить, что принимаемая при этом гипотеза о равенстве фазовых напряжений справедлива лишь при весьма малом содержании воздуха, пока суммарная сжимаемость фаз гораздо меньше сжимаемости скелета среды. Кроме того, при наличии в системе воздуха необходимо учитывать происходящие прп ударном сжатии изменения температуры (см. § 9). Поэтому здесь мы ограничиваемся только случаем полностью водонасыщенного грунта.

Заметим также, что согласно соотношению (17.17) величина пористости может возрасти по сравнению с т, если (Pi/pi) >

l> (Рг/Рг) чго ДЛЯ слабых возмущений сводится к условию р2 < Pi-Последнее, как нетрудно видеть, не выполняется для системы кварц-вода (р1 = 5-10-6 i/am, р2 = 5-10-6

Перейдем теперь к рассмотрению соотношений, реализуемых на самом фронте ударной волны, например в сечении = 0. Для их получения нужно применить к системе уравнений исследуемого течения законы сохранения. Однако наша система состоит из трех интегралов - суммарного момента (17.17) и баланса масс (17.18) - (17.19), - которые выполняются всюду в области движения, в том числе и на линиях разрыва, где скачком меняются параметры потока и обращаются в бесконечность производные от них по координате . Поэтому дополнительно требуется получить только соотношение на разрыве, следующее из дифференциального уравнения относи-тельнй движения фаз (17.21).

Проинтегрируем уравнение (17.21) по в интервале (-ft, -fft) и устремим величину ft к нулю. Тогда, учитывая, что перед фронтом ударной волны было состояние покоя {и> ( --0) = -U, р {1 -ЬО) = Ро), обозначая w Ц = -0) = w, р (? = -0) = р и предполагая конечность величины силы межфазового обмена импульса, получим

Воспользовавшись уравнением состояния для жидкости из (17.16), можно вывести {яф 1) окончательное соотношение

-у {{<?-и]- 2~\)р%2 (1 + -Ро - lUО, (17.24)

дополняемое интегралами (17.12)-(17.14), которые принимают здесь следующий вид:

-mplUw - (1 -mo)plUu +Ра = PoU + Ро, (17.25)

(1 -"л) Pl (Рл) = - (1 -"о) Р? (17.26)

"лРа {Ра) < = -moPl U. {П.21)

Подчеркнем, что при непрерывном изменении параметров соотношения на разрыве должны сводиться к равенствам тина w. {1, = = +0) = u, (? = -0).

Рассмотрим теперь частный случай слабой ударной волны, характеризуемой условиями

Р2Х2(р-Ро) « 1, w=w+U€.U, и=.и - и « и.

Тогда в пренебрежении величинами второго порядка малости соотношение на скачке (17,24) принимает вид

-pOf/u;-bp = p„, (17.28)

а соотношение(17.25) записывается следующим образом:

- (1 - то) plUuj - mop" Uw + pj = ро. (17.29 )

Из соотношений (17.28)-(17.29) следует

-и а-то) (P°i"a-PS"a) = 0-

Отсюда в силу U (I - тр) Ф О непосредственно за слабым разрывом, распространяющимся со скоростью и, реализуется «замороженное» состояние среды, характеризуемое равенством массовых скоростей фаз

рОм = рОи;.

Этот результат, как и следовало ожидать, совпадает с условием (см. § 8), полученным для скоростей движения частиц в акустической волне, распространяющейся с замороженной скоростью звука (тш ->- ). Действительно, скорость и распространения слабой ударной волны, определяемая соотношениями (17.24)-(17.26), совпадает с величиной v. Покажем это.

Соотношения неразрывности можно выразить через возмущения пористости т = т - то и плотности pl = р,- - р

(1-mo) р\и + ,.„рО с- - (1 - то) Ро С/ = О, (17-30)

"оР2"а-"аР2-™оР2""- (17.31) Из соотношений (17.29)-(17.31) следует система

-Uplu= Рд-р I

/ 1 -то , то \ п / 1 -то , , то Л }, (17-32)

исключение из которой величины р\и приводит непосредственно к выражению

С-1/(Ррсо), (17.33)