Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 [ 27 ] 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

абсолютно жесткий и выражение (10.8) совпадает с аналогичным результатом, получаемым при деформируемом скелете.

Если при насыщении порового пространства капельно11 жидкостью изменение порового давления пороладает в основном более быструю продольную волну (см. § 5), то в газонасыщенных сце.ментированных средах возникают главным образом более медленные волны (см. [78, 831).

Перейдем к более подробному анализу динамических процессов в пористых средах с абсолютно жестким скелетом.

Распространение звуковых волн в недеформируе.мой газонасыщенной пористой среде восходит к Кирхгофу и Релею [189] п наиболее подробно было рассмотрено К, Цвиккером и К, Костеном [222], которые иредполон;пли, что среда состоит из системы капиллярных трубок поперечного сечения с абсолютно жесткими стенками. Это позволило им ограничиться псследованпем задачи о волнах в газе, заполняющем единичную жесткую трубку. Если принять, что температура стенок трубки неизменна, то соответствующая задача имеет достаточно простое точное решение.

Ниже приводится анализ характерных особенностей звуковых волн в среде с абсолютно жестким скелетом на основе исходной спстемы акустических уравненпй (.5.1)-(5.VII), не связанной с те.м плп пным тппо.ч капиллярной моделп среды. Последующее сопоставление {§ И) с результата-\п1 Цвпккера и Костена [222] позволит оценить пределы применимости квазистацпонарного закона межфазового теплообмена (4.27), предложенного в работе [19.3].

Ес.ти считать, что скелет пористой среды абсолютно жесткий {т - const, = О, Pi = 0), то уравненпя сохранения массы, импульса, уравнения состояния нулшо формулировать [82] только для жидкой фазы, а уравнения баланса тепла - для обеих фаз:

-f pSdivMJ = 0,

„ dwi dp ,umo(l-»o)

= - - -h-~ ""i (10.9)

-g-= PsP -СХ2Г.2,

(1 -/n) Ci- = (1 ~ m) Z>i vr, J-x (Г2 -Г1) +та2Г,

Уравнения (10.9) сводятся к следующей системе уравнений:

2р цпг(1-т) dp 02 dTj «2 ,um(l -m) dT

dh ap» dt P2 df2 P2 ярО dt

+ Тт -j = a уГг {a - a) Тт (уг) - aa. Туу" X

здесь

(рРг)" " ~ изотермическая скорость звука в свободной жидкости.

Приведем систему (10.10) к безразмерному виду, вводя безразмерные переменные g = wx/v,, t = (ot, P = p/po, 9 = TJTq, (где (1) - циклическая частота волны):

д-iP дР 1 дР каГр 26 каГр 1 6 п

5;2 512+ а/ РзРо р2Р0 dt ~~

дв , 520 520 ai-L02 е., д /52G\ 0102 9-21,

+112 -gJTY - I 512- + -- /2 -gjr (j--Г- +

~г---;2---2 W (10.11)

С dt ~ С2 2 5г2 о с, 2 5/ V 32 ; , рйоэа , . 003

Уравнения (10.11) моллно существенно упростить [82]. В самом деле, рассматривать пористую среду как сплошную однородную заведомо недопустимо, если характерный размер зерен d сопоставим с длиной звуковой волны, т. е. уравнения (10.11) пригодны при d < 5()1 где Уд = yVj - адиабатическая скорость звука в свободной Ж1ЩК0СТИ. Пос.теднее соотношение эквивалентно условию со < сОо (где сОо -).

Для газа величина 2>-cmjceK, а для жидкостей у, 1,5-10 сж/сек. Если размер зерен (мелкозернистые среды) d порядка Ю-слц то сОц яЮ -10* 1/сек. Так как а ==10" cMjcen п менее, то t <С ?о) U = ® о/г 10~ -Ю" - Более крупным зернам соответствует меньшее значение параметра о- Поэтому во второ.м уравнении (10.11) можно пренебречь членами с (коэффициент при первом члене имеет порядок единицы), если скорость второй звуковой волны имеет порядок скорости звука в свободной жидкости, а коэффициенты прп остальных членах (в том числе h) имеют порядок больший, нежели о- Другими с.товами, в случае акустических во.тн частоты со такой, что = Тз» > , 1 > = == (аоСо)/Уг > 10" н- 10" можно пренебречь температуропроводностью (положить ai = a.3 = a=0) в каждой фазе по сравнению с межфазовым теплообменом. Тогда второе уравнение (10.11) запишется в размерных переменных в виде

дТо dTj majTn dp агТо др tiC\ i9\

- + т;г=-Tlr-r-T-T. (10.1/)

dt 5(2 с dt ~ Ci dn

Условие Лд-»- соответствует «замороженному» состоянию среды, а 2 О - «равновесному» с точки зрения тепловых процессов. Аналогично изменения параметра означают переход от «замороженного» состояния, при котором жидкость двигается как в свободном состоянии, к «равновесному» - жидкость неподвижна (его скорость равна нулевой скорости смещения скелета среды).

Найдем теперь закон распространения монохроматических волн: р = А ехр {ix\x - mt), Т = В ехр {щх - mt).

Уравнения (10.11) при этом сводятся к следующему дисперсионному уравнению:

4ri2

Гг)1 1

hi (1-m)ci

hi + J

с (1 + 4)

). (10.13)

где у2 - отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме.

Расслютрим подробнее волны в пористой среде, насыщенной газом. Для нее тс < С и С {i - т) и уравнение (10.13) можно упростить

i+/i/Y2

L i+Ц

1 + J

I hi

i + hi

К---

1 + 1 J" (10.14)

Пренебрежение величиной mcJC эквивалентно предположению о том, что теплоемкость единицы объема скелета бесконечно велика (температура скелета постоянна и равна начальной). Действительно, уравнения распространения звуковых волн в среде с недеформируемым скелетом постоянной температуры записываются в виде

\im (1-m) dp К2 diT.2,

ар» dt

коГо dp ~ Ci dt

a« iim{i - m) dT.j p, .0 dt

(10.15)

- -Ti, Tr = mc2/x

и именно этпм уравнениям соответствует соотношение (10.14).

Из дисперсионного соотношения (10.14) для скорости распространения V и коэффициента затухания б звуковой волны получаем

/2"

V 1 + /

hi i + hl J

\ l+/i

1 \vu

hi \-\-h\ j

1 + y

(10.16)