Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [ 10 ] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

Сумма уравнений полных энергий (4.5) и (4.12) с учетом (4.11) приводит к уравнению полной суммарной энергии среды

А (р, (1-ш)[е, + )+ р,т [в, + -?-)} + + div Jpi (1 - те) и + ) + pmZ (е + +

+ mpw~{\~m) OijU + / У А = 0. (4.38)

Для частного случая абсолютно жесткого скелета: щ = 0, р - = сТ, и уравнение полной суммарной энергии среды (4.38) представляется в виде

4Т Sp2 (£2 + -f ) + (1 - mo) -f

+ div[moP2 (£2 + )+moP + + >} =0, (4.39) a в силу соотношений

(111)

уравнение энергии жидкости и уравнение (4.38) можно переписать следующим образом:

"Pl) +«2--mTiai +

- mcw (grad Г2 -f-Zjgrad p) -div 7 -j-r/, (4.41)

d / w2 \ , dTi , , dTi dp .

-b тсгГ (grad Ti + grad p) = -div (>i -f- /""). (4.42)

Здесь - коэффициент Джоуля - Томсона фильтрующейся жидкости, который определяет изменения температуры Г2 при постоянной энтальпии hi = Ei~\- р-. У идеальных газов = О, у реальных Zj = О только в точке инверсии.

Эффект Джоуля - Томсона подробно излагается в общих курсах по термо-.динамике. Его роль в процессах фильтрации жидкости и газа в пористых горных породах исследовалась в работах Б. Б. Лапука [120, 121] п Э. Б. Чекалюка [232].

Прп = Г., = Г в предположешга:

J(l)., (l m) О, grad Гь /(2> = mZJj grad Г2

(Di - коэффициенты теплопроводности для фаз) уравнение (4.42) эквивалентно-уравнению, полученному Э. Б. Чекалюком [232]. Уравнения сохранения полной энергии для фаз при q = v. (Т - Т) {у. - коэффициент теплообмена между фазами) совпадают с уравнениями, рассмотренными И. А. Чарным [227]. Аналогичные уравнения сохранения для Мокадама [153] записаны в работе иначе, а 1гменно:

тоР2 (£2-b)) = -divmoP2 (2+) u, + mpw +JA-Rw,

(l-no)ci- = -div7i> + flur (4.43)

и не учитывают, как отмечено в [75], тот факт, что вязкостная генерация тепла происходит в жидкости - в твердую фазу это тепло поступает благодаря теплообмену. Однако в работе [153] предполагалось условие = = Т, при этом уравнение энергии для всей среды в целом, как видно пз выражений (4.43), получается правильным.

§ 5. ЛИНЕАРИЗОВАННАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

Рассмотрим упрощенную систему уравнений, описывающих распространение в среде слабых возмущений. Для таких движений можно ограничиться первыми членами разложения выражений (4.32) и (4.39), т. е. принять, что плотности твердой фазы и жидкости изменяются по линейному закону

Р1 Р? А(9 е„)-сх,(Г,-Г„), -Р =

==Ыр-р,)-ЛТ2-т,). (5.1)

Здесь и в последующем значком «нуль» отмечены значения параметров, например, первого инварианта тензора истинных напряжений Q = аII + а22 сзз> соответствующие начальному стационарному состоянию; р, 2 - коэффициенты изотермической сжимаемости; а, а2 - коэффициенты объемного расширения твердой фазы и жидкости.

Так как значения коэффициентов Pi, относительно мало меняются с температурой (для горных пород и однородных капельных жидкостей), то соответствующей зависимостью будем для простоты пренебрегать.

Подставим соотношение (5.1) в уравнение неразрывности (3.19) и воспользуемся соотношением 9 = -Зр -f 9/(1 - т), следующим из выражения (3.28), где 9 - первый инвариант тензора фиктивных напряжений

PlPi dt "iPi di 3{i-m) )~di

Pt nO I d{i-m)piui

Ограничимся теперь рассмотрением малых отклонений параметров пористой среды от их значений, соответствующих стационарному состоянию, т. е. положим

m = mQ + m, Ui = u-\-ul, Wiw -\- w,

Р = Ро + Р, Гг; = П/+Г;/, а = ао + а,

где U?, w4 - одного порядка или же еще более малые величины по сравнению с ир Wp тп, а а и т. д. Указанное предположение о величинах м?, позволяет принимать за стационарное состояние не только полный покой среды, но и медленное, например, фильтрационное установившееся движение.

Теперь будем в уравнениях движения и неразрывности фаз пренебрегать величинами второго порядка малости, а в уравнении (5.2) величиной Pi9/3 (1 - mo), малой по сравнению с единицей, например, для естественных грунтов и горных пород коэффициент имеет порядок 5-10" ат~ (для кварца), а максимум величины 9 = = 5-10* ат. Тогда система тем самым линеаризованных уравнений движения и неразрывности будет иметь вид

(1 -о) (р? - й ) - 5;-о (1 -о) (-. -«.)+

+ {то (p?-pS)-(l-«o)(Pi-p2))?,- = 0, (5.1)

Р" -IT + T+t (1 - + Р281 = 0, (5.11)

дт I 61 dQf „ ,. ч 5р , , дТх

-(1-т,)0, (5.111)

+ * - «-» + -о 1 = О, (5.1 V)

где теперь переменными величинами являются отклонения от стационарных значений, причем для простоты штрихи опущены.

Уравнения сохранения энергии в линейном приближении можно получить из второго закона термодинамики для фаз (4.16), (4.17), если согласно уравнениям (4.29) и (4.37) воспользоваться справедливыми в линейном приближении известными термодинамическими соотношениями

Pj.=-c,-aj,. (5.3)

1 Система основных уравнений обозначена римскими цифрами.