Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 [ 72 ] 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

где использована четность подынтегрального выражения и введены величины

/• Г COS nz I za

.1 Г-со [ехр (-х;2/4) I 1-со [1-ехр

ехр i-yizi ,)]

Значения 0,5/ при © = 0,5, вычисленные на ЭВМ для ряда значений т при % = О (локальная теория) и / = 10, приведены в табл. 18.

Таблица 18

Из выражения (24.11) следуют решения для предельных частных случаев ("/ О и оо), которые можно интерпретировать как асимптотические решения

р(х, г) р„ = ехр(-), d4<xf, xVt{x==0),

/>(, 0-/>о = -у-ехр(-), х,= -,

dxt, xYxt (х-> оо).

Как и следовало ожидать, в областях движения, гораздо больших, чем масштаб d, решение примерно соответствует обычной локальной теории. Если же область движения гораздо меньше масштаба d, то также можно приближенно пользоваться локальной теорией, но эффективный коэффициент пьезопроводности оказывается большим: = и (1 - (в)~. Здесь при том же количестве закачанной жидкости давление должно быть больше, чем предсказываемое локальной теорией (сравните подсчет при тп - 1, х = Ои / = 10).

Рассмотрим решение задачи о перераспределении давления в окрестности импульсивно включенной точечной скважины . Если Q - количество закачанной в пласт жидкости; Ро {г) - начальное стационарное распределение давления, то относительно безразмерной функции и {г, t), введенной равенством

Р(-. t)=Po{r)-

<?Р

2nkh

и {Г, t),

1 Задача рассмотрена Е. Ф. Афанасьевым и В. Н. Нпколаевским.

задача сводится - см. формулу (21.45) - к решению интегродиф-ференциального уравнения

со о

при следующих условиях:

и (г, 0), {гди/дг) = 0 при г = 0, t>0. (24.14)

Здесь Go (г, t) = 8 (г) Q (г), б (г) - функция Дирака. Решение (получаемое применением интегрального преобразования Ханкеля) имеет для трансформанты U (Я, t) вид

Ш (24.15)

ф()=-Г-?-di-

1-0)2 1 ехр r -X2J I

В частности, при Q (t) = Ь (t) имеем

и {X, О = Ф (Я) Я-2 ехр (-ф (Я) t), и для самой функции и {г, t) получим

со со

и(г, ,) = Ф(е->о(Яг)ЙЯ = А[г1,(.; Х) ЩуУт

(24.16)

Здесь

= dy{Axt), z==y,%H, i]3 = zV[l -<й(1 -е-/-)].

§ 25. ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ а. Методы линеаризации

Известен целый ряд способов линеаризации. Рассмотрим в наиболее общей постановке метод линеаризации Л. С. Лехгбензона. Он заключается в том, что параметр х в уравнении (21.16) принимается функцией давления в какой-либо фиксированной точке, т. е. х не зависит от координат. При этом вводится новое время: dx = х {() dt и уравнение (21.16) становится линейным

-- = %--. (25.1)

дх dxdXj

Первому приближению в методе линеаризации но Л. С. Лейбензону соответствует задание постоянного (начального) давления в выражении для X, т. е. X = const. Для плоско-параллельного движения решение уравнения (25.1) имеет вид

< = c + (l-c)0(li), 1 = 7=- (25-2)

В нервом приближении х = t. В частном случае экспоненциальных соотношений для капельной жидкости < = = ы; Ф (?) - интеграл вероятности [207].

Для осесимметричного движения к скважине согласно уравнению (25.1) имеем

В первом приближении т = при экспоненциальных соотношениях для капельной жидкости < = ф = м.

Вторым приближением линеаризации Л. С. Лейбензона является

принятие зависимости х (Pcp)i где рр - средневзвешенное (меняющееся во времени) давление в зоне движения. Величину рр можно вычислить из уравнения материального баланса. Как и раньше, здесь вводится новое время: d х = % {р. {t)} dt.

Б. Б. Ланук [122] принимал среднее давление равным контурному, что упрощало решение ряда задач. Однако для решения основных модельных задач нет необходимости заменять среднее давление на контурное - переход от времени t к времени т производится достаточно просто.

Для уравнения (24.1) связь между старым и новым временем имеет вид

T = J["(OH dt, (25.4)

где и - функция среднего давления р (t).

Для частного случая фильтрации идеального газа у = 2,0 и Q = = const формула (25.4) при использовании уравнения материального баланса преобразуется в следующую:

T = /7of[l-i--], (25.5)

где Q - запасы газа.

Для этого же частного случая были сопоставлены решения, полученные на ЭВМ [88], и указанным выше методом линеаризации, сопоставление свидетельствует о хорошем совпадении полученных результатов. Следует отметить, что в настоящее время указанный здесь метод линеаризации широко используется при решении задач на электроаналоговых машинах [21, 238].