Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 [ 19 ] 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

Био в своем исследовании [257] отмечает, что при отсутствии межфазового вязкостного объемного взаимодействия (Л; = 0) поперечная волна распространяется со скоростью

(1 -то) 2

Pll 1-P?2/PllP22)

(7.25)

Pll=Pl (1-mo) -pi2, P22 = P2mo -pi2, причем вращение твердой фазы связано с вращением жидкостп Qo условием

Pl2 Р22

(7.26)

Поскольку по Био pi2 < о, жидкость и скелет сдвигаются в одном направлении. Если pi2 = О, то жидкость остается неподвижной, а скорость l- =

Заметим, что Био допустил в соответствующем месте своей раооты неточность: полагая в фигурной скобке в уравненип (7.25) и выражении (7.26) pi; = О, он сохраняет pjj фО в выражении (7.25) для рц и пишет: «i>s = (1 - mo)/Pii, где Pll - масса твердой фазы плюс кажущаяся масса пз-за относптельного движения твердых частиц в жидкости» [257].

Для поперечных волн Био получает дисперсионное уравнение и выписывает выражение для безразмерной скорости (отнесенной к скорости V (1- т) ХРа) волны, в которой нет относительного движения жидкости п твердых частиц. Затем приводит в виде графиков результаты численного подсчета скорости и коэффициента затухания до значения частоты со = 0,154 iimg (1 - то)/(пот)Р2) или до значения ?i = mapliimf, (1 - т) = 0,154 (2 In t, = -3,7). Для таких малых частот Био предлагает следующие приближенные формулы:

1 то 1 / Ро

2 РО К (1-mo

P2mo - pi2 mi

fxm (1 -m)

Po f (1-mo) Я2 ao 1 ao 1 co2p

2 (1-то)ц /(1-mo) Xi

(7.27)

(7.28)

Обратим внимание, что в выражение (7.27) для скорости входит величина Pi2, тогда как выражение (72.8) для коэффициента затухания 65 (для малых частот) не зависит от величины Ри и совпадает с асимптотикой (7.24). Этот факт подтверждается графиками работы [257].

В общем случае произвольной частоты из уравнения (7.22) следует

s /2 2(1-mo)

i+£i

Pi(l-mo) Лу

« l/ PL

~У2У 2(1-

l + ?i J

(7.29)

Pi(l -Wo) - 1/

1+ei

i+si

(7.30)

в расчетах по формуле (7.29) (см. рис. 4) в качестве параметра использовалась величина

Р2"о Pi (1-mo) 1

Y = ;

pi(l -mo) Po 1+Y

Из выражений (7.29) нетрудно получить формулы для скорости поперечных волн относительно малых частот (7.23), а также и больших частот (или малых сил фильтрационного сопротивления):

1-оо, (7.31)

что совпадает с результатом качественного анализа уравнения (7.21) со скоростью поперечных волн в сухой (Рг = 0) среде.

Выражение (7.31) совпадает со скоростью Био (7.25) поперечных волн в рассматриваемой двухфазной среде при р = О, если только положить pi2 = = 0. Формула (7.31) как величина скорости волн при больших частотах была также получена Брутсаертом [265].

Эксперименты Н. В. Царевой [221] свидетельствуют о том, что скорость распространения переднего фронта волны чистого сдвига в водонасыщенном и сухом песке одинакова (с точностью проводимых измерений). Так как скорость фронта согласно (7.21) совпадает со скоростью гармонических волн прп со < - см. (7.31),- то результаты Н. В. Царевой подтверждают возможность пренебрежения дополнительной инерционной силой Био в уравнениях движения.

-« -3 -2 -1

21 п

О I p.ni[i(l-mo)

2 3

Рис. 4. Зависимость скорости но-перечноп монохроматической волны от частоты колебаний и параметров среды.

При переходе через границы раздела между газом с низким давлением и жидкостью в одной и той же пористой среде скорость испытывает небольшой скачок - не более, чем в раз, где

Р1(1-

торг то)

поскольку плотность газа в таких условиях пренебрежимо мала. При практических замерах такая разница не улавливается. Это и позволяет, исходя из экспериментальных данных, сделать, например, вывод, что для скорости поперечных волн при переходе через зеркало грунтовых вод скачка нет [129, 305].

Для коэффициента затухания по уравнению (7.30) следует асимптотическое выражение

т. е. если фиксирована частота со, а параметры пористой среды переменны, то 6s -> О как при 1,1 О, - см. (7.24), так и при t,i оо, а в некоторой промежуточной точке претерпевает максимум. При о> -> оо н фиксированных параметрах среды величина 65 стремится к некоторому постоянному значению, равному "

il/Pl

ч У I2 •

(7.33)

Качественно соответствующие графики [164] иллюстрируют зависимость коэффициента затухания на длину волны, равного [labtv,!, от частоты колебаний. Зависимость безразмерной величины

(7.34)

от переменной (рис. 5) иллюстрирует влияние частоты колебаний на коэффициент затухания на единицу длины пройденного волной расстояния при фиксированных параметрах среды и жидкости.

-2,5

Int;-

Рис. 5. Зависимость коэффициента затухания поперечной монохроматической волны от частоты колебаний (при фиксированных параметрах среды).

Сдвиговые деформации определяются только фиктивными напряжениями и непосредственно не зависят от эффектов сжимаемости фаз (величин Pi, Р2). Поэтому для изучения поперечных волн можно воспользоваться моделью, в которой пренебрегается сжимаемостью фаз [164, 166], если считать, что параметры Ху (1 - т), Х (1 - т) учитывают и взаимные смещения частиц, и их сжимаемость из-за контактных сил, т. е. что (1 - TOq) Xj, (1 - mo) Х являются упругими характеристиками реальной пористой среды при отсутствии в них яшдкости.

§ 8. ВОЛНЫ ДАВЛЕНИЯ И ПЕРЕУПАКОВКИ В МЯГКИХ СРЕДАХ

Выявление механических особенностей процессов, происходящих в волнах I и П рода, весьма затруднено из-за сложности дисперсионного уравнения (7.3), хотя численное его решение, а следовательно, и количественные оценки скоростей распространения волн и коэффициентов затухания вполне доступны при известных значениях упругих констант. Однако если воспользоваться предложенной выше механической классификацией грунтов и горных пород, можно упростить анализ и выявить существенные качественные особенности волн. Для мягких пористых сред величина 8 является малым параметром. Воспользуемся этим для упрощения дисперсионного уравне-нения (7.3), которое можно представить в следующем виде:

5*H-M-l+i8-f-(H-,8)-i- -bfl-)=0, (8.1)

* V ро СОТ / Р1Р2 \ СОТ 7 \ / л 1 = (Л1 (1 - то) (2 - Pi) -1) , 8 = р ,