Главная Переработка нефти и газа Однако оправданной оказывается только постановка задачи об уплотнении среды выcoкoпpoницaeшм поршнем, так как лишь при приложенной нагрузке этого типа изменения на второй волне будут отличаться от нуля при е 0. При приложении нагрузки этого тппа справедливы следующие формулы для распределения фиктивного напряжения [164]: L..exp(-M)+ fUiIfi).. (13.25) прп ty. х/с и 0 = 0 прп t < х/с. Скорость смещения твердой фазы прп этом оказывается равной 1 - mo г р а поровое давление в области х <ct представляется в виде (13.26) ргЬй/ (13.27) В точке X - ct = -\-0 (прп подходе к ней слева) давление в жидкости будет Р = -о* а прп I > c< пмеем 1 -е" pix,t) = -a,(i-Pe-»b) прих>.(. (13.28) (13.29) Вычитая пз (13.28) выражение (13.29), получим, что в точке х = ct давление в жпдкостп скачком меняется на величину (13.30) Для исследования во.гны первого типа в мягких пористых средах можно воспользоваться, как это было показано в § 5, релаксационным уравнением т -ог- 5 /dip It V dt t - lo VV) + yp) = 0. (13.31) При этом нужно соответствующим образом изменить постановку граничных условий, считая, что вся нормальная нагрузка воспринимается поровым давлением. Следует помнить, что получаемые результаты будут справедливы с точностью до е-малых величин. Рассмотрим сначала вопрос о ширине фронта акустической волны давления. При этом воспользуемся полученным выше результатом, что при всех способах мгновенного приложения постоянной во вре- менн (при t 0) нагрузки для волны давления практически реализуется условие р(<,а; = 0)=р„ (13.32) .здесь р, - изменение суммарного наиряженпя на возмущающей границе в одномерном плоском случае при х = 0. Пусть возникшая ири этом слабая ударная волна распространяется по первоначально покоившейся среде, т. е. дополним условие (13.32) следующим: p(x,t==0) = 0, {др/дх),=о = 0, р (Х- оо, t) = 0. (13.33) Решение математически аналогичной задачи (относительно возмущения скорости в релаксирующей жидкости), построенное в работе И. П. Стаханова и Е. В. Стуиоченко [202], имеет вид p(,t)-\dco, A-col/IH. (13.34) где путь интегрирования L происходит по действительной оси плоскости со с обходом начала координат ио верхней полуплоскости. При < <! x/Vco возмущение отсутствует, а ири (t - х/Vm) = >> О для малых величин f < х решение, выражающееся через функции Бесселя, имеет вид р{х, 0 = Р,ехр А = 2 vr J,{-2iVAt), Рсо \ / 1. , 3 Рсо \ Ро ) 1 4 4 Ро (13.35) Поскольку /о {2iYAt) 1 ири t < т, то решение приближенно можно записать как p{x,t)=0, <--f-<0. р{х, 0=Р,ехр 1-"= Ро / соТ 0<<--f-«T. (13.36) При X > VooX разрыв практически размывается, в эти моменты времени решение представляется в виде р(х, t) = -0 vat-x VPoo - 1 VgXX ф(2) = /А j е-/=г\ (13.37) Как нетрудно видеть, решение (13.37) соответствует представлению среды в виде жидкости с объемной вязкостью, вызываемой инерционной релаксацией (см. (8.31), а также [311]). Согласно (13.37) ширина размывающегося фронта слабой ударной волны при < > т определяется формулой Для водонасыщенного кварцевого песка {vo= 1,9 км/сек, v = 2,2 км/сек, т= 10 сек - см. стр. 76) формулой (1.3.38) можно пользоваться прп i> у. 2,2 м. Имеем: б = 7,3 ж прп i = 10 м; б = 22,2 м прп х = iO м; б = 73 м прп I = 10* .к. А. Г. Багдоев [4] исследовал решение уравнения (13.31), полученного пм путем линеаризации системы уравнений X. А. Рахмату-•лина для полупространства при задании на поверхности осесимме-трпчного граничного условия [ Р,(-, t), r<:R(t) P(,y,0,t) = [ \ J; (13.39) и начальных условиях покоя р = О, dp/dt = О при < = 0. Здесь г = Yx + у\ Решение строится с испо.льзованием преобразования Лапласа и для трансформанты давления Р (х, у; s) имеет вид Р ( ) = -2 11] 1!7-Р {-if «40) где Si = l/T, S2 = vll{vx), RY{Xo-xy- + {yo + yf + z\ Далее А. Г. Багдоев разлагает подынтегральное выражение по стеиеням s~ и ограничивается первым членом разложения, что соответствует построению асимптотического решения, справедливого в начальные моменты времени 1 д Р{г, t-RJv) t-Но/Vco D f (r) s, Xsin(/ dsdxodyo, (13.41) где границей области интегрирования D служит поверхность г* = R {t - Rolvoo); f (г) = t - функция, обратная г = R (t). 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 [ 36 ] 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 |
||