Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 [ 37 ] 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124

Таблица 8

Изменение во времени основных показателей разработки газовой залежи Л тремя батареями скважин

Показатели

Годы разработки

КГС/СМ2 Ф.

(КГС/СМ2)2

Фп. (кгс/смг)г

тыс. м8/сут «1

Фг2. (КГС/СМ2)2

ТЫС. мз/сут

«2

ФГЗ. (КГС/СМ2)2

РгЗ,

кгс/см2 93.

тыс. м8/сут

число скважин в первой и второй батареях определялось исходя из зависимости р = р (t). Дебиты скважин определялись с использованием уравнения (10) и при условии, что а = А я b = В.

§ 6. Решение на ЭВМ задач неустановившейся фильтрации газов

В предыдущих параграфах рассмотрены приближенные методы определения показателей разработки газовых месторождений. Развитие этих методов было связано с нелинейностью исходных дифференциальных уравнений неустановившейся фильтрации газа, что не позволяло получить эффективные решения в замкнутом виде даже для простейших задач. Решение данных уравнений методами конечных разностей стало возможным лишь благодаря созданию п все более широкому применению быстродействующих электронных вычислительных машин.

Численные методы интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных называются в литературе сеточными или конечно-разностными

О I Z......И L il..........п-3 п-1 п

и-b-hH-1-

М -НЛК- 71-2 N

Рив. 35. Разбивка отрезка MN на отдельные интервалы

методами 1. В предыдущих параграфах мы уже пользовались методами численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений при определении, например, показателей разработки газовой залежи в период падающей добычи газа.

Численные методы решения дифференциальных уравнений в частшсх производных основаны на выражении (замене) производных первого, второго и т. д. порядков в какой-либо точке пространства и в какой-либо момент времени через значения функции в соседних точках.

Известно, ято любую функцию у = f (х), непрерывную и имеющую все необходимые производные при х = а, можно представить в виде ряда Тейлора:

/W = /(«) + -+ + /"(«) + • (1)

Следовательно, по известным значениям функции и ее производных в некоторой точке можно определить значение функции в близлежащей точке.

Ё формуле (1) / (а), /" (а), ... - значения первой, второй и т. д. производных по а: в точке х = а.

Предположим теперь, что на оси Оа; имеется некоторый отрезок MN, который разбит на п равных частей (рис. 35). Тогда расстояние (шаг) между двумя точками равен h= (N - М)/п.

Выберем произвольные точки i - 1, г и г + 1 на линии MN. При помощи ряда Тейлора (1) запишем значения функции в точках i - i п i + I через значения функции и ее производных в j-й точке. Для точки i - 1 величина {х - а) = = -Л, а для точки i+ 1 она равна h. Следовательно,

ft-i = /г - A/i + -- --J- кЩ + -1- V . . . (2)

/ui = /i+/I+-J-2/- + L/,3/- + J A4/iv + . . . (3)

1 В настоящее время имеется обширная литература по численным методам решения дифференциальных уравнений, например [7, 10, 64 и др.].

Здесь /{, /i, . . . - значения первой, второй и других производных по « в точке i.

Из формул (2) и (3) легко получить значения первой производной в точке t. Имеем

fi=-r+Riihy. (4)

/i= +Д2Щ- (5)

Здесь Ri (h) и (А) - суммы соответствующих остаточных членов рядов (2) и (3), поделенных на h.

Таким образом, формула (4) без (h) дает значение производной для конца интервала (i - 1, t], а формула (5) без (f) - для конца интервала [i, i + 1J с погрешностью порядка А, так как Ri{h) и Л а (А) - члены первого порядка малости относительно h. Отбрасывание этих членов в формулах (4) и (5) при значительной величине h может привести к значительным погрешностям при замене и вычислении производной в точке г.

Более точное выражение для первой производной по г в точке I получим, если вычтем (2) из (3). Тогда взаимно сократятся члены с четными степенями относительно h. Получаем

П-= "7/" +Дз()- (6)

Таким образом, при аппроксимации (замене) производной в точке i через значения функции в соседних точках остаточный член имеет погрешность порядка А*, т. е. пренебрежение остаточным членом в формуле (6) дает меньшую погрешность, чем в случае формулы (4) или (5).

Сложив уравнения (2) и (3), получаем аппроксимирующее выражение для второй производной в точке i:

В формуле (7) остаточный член Л, (А*), как и в формуле (6), - член второго порядка малости относительно шага А. Это означает, что при выборе достаточно малого шага А членами порядка А ввиду малости можно пренебречь.

Разобьем интервал времени [О, Т] на к равных интервалов. Тогда шаг по

времени Д<= Точки разбивки временного интервала обозначим через О,

1, ...,/+ 1, . . . , к. Величину давления р в точке с координатой i Ах в момент времени f At будем обозначать через р;,/. Соответственно величину давления в точке пласта с координатой i Ах в момент времени (/ + 1) А* - через Р(, i+i и т. д.

Воспользовавшись формулами (5) и (7), в качестве примера представим в конечно-разностной форме одномерное дифференциальное уравнение параболического типа (в безразмерном виде)

дР др

описывающее неустановившуюся фильтрацию сжимаемой жидкости. В результате имеем выражение

"~iA%t" = +OlAt + (Ах)Ц. (9)

Здесь О [Д*-Ь (Дж)*] - погрешность аппроксимации исходного дифференциального уравнения (8) конечно-разностным уравнением. Принимается, что О [At+(Ax)] = О [At] + О [(Ах)Ц.