Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 [ 38 ] 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124

Уравнение (9) может быть записано двояким образом в зависимости от того, к какому временному слою относить его левую часть. Допустим, что решение-уравнения (8) на временном слое j At уже известно, а решение отыскиваете» на слое (/ + 1) At.

Если левую часть уравнения (9) отнести к временнбму слою } At, то уравнение запишется следующим образом:

(Ai)2 At •

Если левую часть уравнения (9) отнести к временнбму слою (/+ i) At, то имеем

Прп записи уравнений (10) и (И) пренебрежено величиной О [At + (Аху]. Уравнение (10) является явным, а уравнение (11) неявным сеточным уравнением.

Из уравнения (10) видно, что в него входит лишь одна неизвестная величина Pi,Если решение задачи на слое / известно, то, применяя последовательно уравнение (10) к каждой i-й точке (с учетом граничных условий), можна получить искомое решение на временном слое (J -j- 1) At и т. д. Отсюда становится понятным, почему уравнение (10) называется явным: оно позволяет явным образом находить решение задачи в каждой i-й точке в момент времени (/ + i) At.

В неявном уравнении (11) имеются три неизвестные величины: p/,y+i; P+i,/+i; P( i,/ + i. Записывая уравнение (И) для точек < = 1, 2, ... п - 1, получаем систему из (п - 1) уравнений с (га -- 1) неизвестными. Граничные условия в точках г = О и t = п дают еще два уравнения. Следовательно, чтобы; найти решение задачи на слое (/ -- 1) Д* требуется решить систему из га-- 1 уравнений с га -Ь 1 неизвестными. Если на границах задаются известные значения функции, то задача сводится к решению системы из га - 1 уравнений с га - 1 неизвестными.

Таким образом, использование численных методов сводит интегрирование-дифференциального уравнения (8) при соответствующих краевых условиях к чисто алгебраической задаче.

Возможность или эффективность использования сеточных методов приводит к рассмотрению вопросов сходимости и устойчивости их.

Необходимость рассмотрения сходимости и устойчивости сеточных методов связана: 1) с погрешностью аппроксимации дифференциального уравнения п соответствующих краевых условий конечно-разностными уравнениями; 2) с погрешностью вычислений на каждом временнбм слое.

Если сеточный метод дает такое решение, которое при изменении шагов Дат и At (прп Ах - О и At - 0) стремится к точному решению задачи, то такой метод является сходящимся.

Если сеточный метод дает такое решение, что при увеличении числа просчитанных шагов по времени / погрешность вычислений стремится к нулю (или остается ограниченной), то метод является устойчивым. Оказывается, что устойчивость метода неразрывно связана с величиной шагов Дх и At.

Известно (см., например, [7]), что явное уравнение является устойчивым в том случае, если соотношение между шагами по пространственной и временнбй осям удовлетворяет неравенству

Д.. (12)

Неявный сеточный метод не имеет подобного ограничения на величины шагов Дх и At. Однако это не означает, что при пользовании неявным методом допустшаы любые шаги по осям Дх и Д«, так как сходимость метода неразрывно-связана с величинами шагов Дх и At.

Использование явного сеточного метода возможно в том случае, если шаги по пространственной и временнбй координатам удовлетворяют неравенству (12).

Оказывается, что это ограничение на шаг по временной оси является очень жестким. Для устойчивости метода шаг At приходится брать очень малым, что увеличивает общее число шагов по времени, а следовательно, и общий объем вычислительных работ. В связи с этим, несмотря на большую простоту явного сеточного метода, использование его на практике весьма ограниченно.

При использовании неявного сеточного метода, как уже отмечалось, нет прямых ограничений на величины шагов по пространственной и временной координатам, так как этот метод является устойчивым. Однако для получения заданной степени точности решения задачи выбору шагов по времени и пространству приходится уделять определенное внимание. Естественно, что уменьшение шагов Дх и Д* сказывается положительно на точности получаемого решения, но вместе с тем это влечет за собой увеличение объема вычислений и наоборот.

На практике выбор шага по пространственной координате часто осуществляется экспериментальным путем. Для этого проводятся вычисления на ЭВМ

с некоторым шагом Ах. Затем вычисления повторяются с шагом Ах/2. Если оказывается, что решение, полученное при шаге Дх, отличается от решения, полученного при шаге Ах/2, на заданную величину погрешности е, то шаг Дх считается не-завышенным для достижения требуемой точности. В противном случае задача просчитывается с шагом по пространственной координате Дх/4. Если решение при шаге Дх/4 отличается не более чем на величину е от решения, полученного при шаге Ах/2, то шаг Дх/2 принимается за оптимальный и т. д.

Иногда пространственную координату удается преобразовать таким образом, что искомое решение в новых координатах в момент времени t пред-Рис. 36. Характер реше- ставляет собой зависимость, близкую к прямолп-ния дифференциального "" формула (7) для аппрокси-

уравненм п1фаболиче- "Р производной по преобразованной

ского типа (например, координате имеет остаточный член порядка Л« («> 2) пля некотооой точки вследствие малости значении производных высшего пластав порядка. Это означает, что при соответствующем

преобразовании координат использование одной и

той же формулы может давать меньшую погрешность аппроксимации. Соответственно, для решения задачи могут быть использованы значительно более крупные шаги по пространственной (преобразованной) координате (это будет показано далее).

При выборе шага по временной координате целесообразно руководствоваться следующими соображениями.

Из изложенного видно, что чем сильнее изменяется искомая функция по пространственной или временнбй координате, тем меньший шаг требуется для получения заданной точности. Известно, что решение дифференциального уравнения параболического типа для некоторой точки пространственной координаты имеет вид, изображенный на рис. 36. Искомая функция наибольшим образом изменяется в первые моменты времени. После некоторого времени изменение функции во времени происходит почти по прямой линии. Это означает, что в интервале наибольших изменений функции [О, tj] требуется меньший шаг At, чем после достижения времени <j. Проведение расчетов с одним и тем же шагом по времени неэкономично. Таким образом, расчеты по времени должны проводиться с )астущими временными шагами.

Алгоритм увеличения шага по времени довольно прост. С начальным, по возможности малым, шагом At просчитываются два шага по времени. Затем с шагом 2At просчитывается один шаг по времени. Полученные два решения на момент времени 2Ai при разных временных шагах сопоставляются. Если эти решения различаются на величину большую, чем заданная погрешность е, то дальнейший счет ведется с шагом At. В противном случае расчет продолжается

с шагом 2At. С шагом 2М просчитываются два шага. Затем с шагом 4Д< делается повторный просчет по времени. Аналогично изложенному результаты сопоставляются, и получается ответ о целесообразности или нецелесообразности дальнейшего увеличения шага по времени и т. д.

Для задач, описываемых уравнениями параболического типа, часто удается записывать балансовые соотношения, например уравнение материального баланса применительно к газовой залежи. Наличие такого уравнения при проведении численных расчетов позволяет судить о правильности составления программы и дает представление о величине интегральной ошибки, получаемой в результате расчетов на ЭВМ.

С начала 50-х годов Для решения задач неустановившейся фильтрации газов все более широкое применение находят численные методы и ЭВМ. Первые исследования в этом направлении посвящены решению одномерных задач неустановившейся фильтрации газов [39, 47, 85 и др.]. Полученные практически точные решения позволили установить точность приближенных методов и обосновать справедливость применения упрощенных методов определения показателей разработки месторождений природных газов [39].

Пусть, например, требуется определить, как будет изменяться во времени давление на забое совершенной газовой скважины радиусом Лс при пуске ее в эксплуатацию с постоянным дебитом д. Газоносный пласт круговой формы радиусом Лк имеет постоянную мощность и однороден по пористости и проницаемости. Газ идеальный.

Таким образом, требуется найти решение дифференциального уравнения Л. С Лейбензона

при следующих начальном и граничных условиях

t = 0, р = рн = const.

г = Лс, g=-vF

Рат г = Лк,

2лПскк др .фат 9г

= const,

др дг

= 0.

(14>

Для получения универсального решения, справедливого для любых параметров пласта, диаметров скважины, размеров залежи и вязкости газа, дифференциальное уравнение, начальное и граничные условия представим в безразмерной форме.

Введем следующие безразмерные переменные и параметры:

Рн крн

u = lnr*,

2]iPa

2атцЛ

Тогда задача (13)-(14) в безразмерной форме принимает вид:

а2р*2

в = 0, р» = 1.

(15)

(16)

(17)