Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 [ 39 ] 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124

Используя формулы (5) и (7) (без остаточных членов), задачу (16)-(17) лредставим в конечно-разностной форме (для простоты звездочки опустим):

(Ди)2 - 2pi,j,i т •

Это уравнение справедливо для всех внутренних узловых точек » = 1, 2, 3, . . . , ге - 1 и для в >• О (Дм - шаг по пространственной координате, т - шаг по временнбй координате);

в = 0, Pi,o = i, J = 0, 1.....п;

„ „ дрг р!./+1 -р1, /1 -0.5 (Р. -2р1 + ji) q*

"="« -дГ-д;-=-•

„0, 0, т. е.рп,,.г = Рп-и1.г.

(19)

На рис. 37, а представлена область интегрирования уравнения (13), а на рис. 37, б - область интегрирования уравнения (16).

а Рис. 37. к переходу от простран-

Ug О ственной координаты г (а) к коор-

h-1-t-1-f--н-1- и динате м = In г {6)

.0 12 .. ..L-1 С L+1 п-1 п

Разбивка области интегрирования [uo> 0] произведена таким образом, что граница пласта находится посредине точек га - 1 и л. В этом случав

„ Цп-1+Цп .L.. Дц(га -1) + Дц-7г , Щ. =-2--Г"о =-2--J-Mo = 0.

Отсюда следует, что

Д« = --

Формула (19) для аппроксимации первой производной несколько отличается от выведенной ранее формулы. Формула (6) позволяет аппроксимировать первую производную в некоторой точке со вторым порядком точности при использовании значений функции в точках слева и справа от нее. У узловой же точки (см. рис. 37, б) нет соседних точек слева. В ряде литературных источников показывается, что если использовать значения функции в точках 4=0, 1, 2 для выражения первой производной в точке i = О, то достигается второй порядок точности аппроксимации.

Уравнение (16), так же как и уравнение (13), нелинейное, потому что перед временнбй производной стоит коэффициент, в который входит искомая функция р*. Соответствующая система конечно-разностных уравнений (18) оказывается также нелинейной. Решение системы нелинейных алгебраических уравнений по сравнению с системой линейных уравнений представляет большие трудности.

Если записать систему уравнений (18) в виде:

Тщг - 2р,-. / • "

г = 1, 2, 3.....п -1,

то она представит собой систему линейных алгебраических уравнений.

Здесь использован общий прием, который часто применяется при численном решении нелинейных дифференциальных уравнений, т. е. нелинейный член в (20) вычисляется по найденному решению на /-м временнбм слое. При расчетах второго приближения на / + 1-м временнбм слое вместо значений pi, / используются найденные в первом приближении значения р/,/+i (перед производной по времени) и т. д. Об этом подробнее будет сказано ниже.

Уравнения (20) и (19) дают нам, таким образом, следующую систему линейных алгебраических уравнений.

При:

= 0 pj ii-plii ~ 0.5(pi,j4i-2pf./.i + P§,,4i)= 2 "

Pli.i-2plj.i + Pl,f+i . е"- Plj.i-Plj " (Ди)2 2pi,/ т

г = 2

Pli+v-2p\j.i + Pl,i+x (Дм)2

е" 2Р2, /

Pl,i+i-P\,i

Pli,ii~Pli.i+Pli,hi е" Plhi-Pjl

(Д«)2

2Р,-, /

(21)

. Рп, i+i -2pti, i+i + Pn-2, /41 е""- Pl~i,i.i-Pn-i, i

" (Д«)2 2p„-i,/ т

i = n pn-i, i+i = Pn, /+1 или pg i, j+i=Ph, i+i

Система уравнений (21) состоит из (га + 1) уравнений с га -Ь 1 неизвестнымиг Po,/+i; Pi,/+i; p1,/+i; Piy+i- Эта система характеризуется тем, что

в каждом уравнении (за исключением последнего) содержится по три неизвестных функции. Неизвестные функции имеют наименьший индекс по i, в первом уравнении равный О, во втором - 1, в третьем - 2 и т. д. Такая система уравнений называется системой с трехдиагональной матрицей. Для таких систем разработан простой и эффективный метод решения, называемый иногда прогонкой.

Рассмотрим решение системы уравнений (21) методом прогонки.

Решая совместно первое и второе уравнения системы (21), получаем

Ро, /+1 = MPi, hi+Ci, /+1-Здесь коэффициенты соответственно равны:

(Дц)2 е"

1, /+1 =

(Дц)2 e"Pi./ g* Дц

(22)

(23)

4тр1,/ 4т 2 •

Подставляя выражение для pi, /+i во второе уравнение системы (21) и решая его относительно pj.j+i, получаем

/i,/+i = 2,MpS,/+i + C2,m. (24)

Аналогично третье уравнение системы (21) представляется в виде:

Р./+1 = з,/+1Р,/+1 + Сз,/+1 (25)

или в общем виде

P?-i,,4i=.MPF,/rt + C.-.M- (26)

Рекуррентное соотношение (26) справедливо для г = 1, 2, 3, . . . , (га - 1).

Из двух последних уравнений системы (21) имеем

Рп-1.1+1 = п. /+1Рл, /+1 + Сп, h 1; (27)

Р1./+1 = Рл./+1- (28)

Решая совместно уравнения (27) и (28) относительно pn-i,/+i. получаем

РД-1,т= . (29)

Далее, зная pn-i,/+i> -n-LZ + iH Cn i,/ + i, по рекуррентному соотношению (26) определяем Pn-i,i + i и так далее до pl,j + \.

Таким образом, процесс решения системы уравнений (21) заключается в вычислении прогоночных коэффициентов Л /+1 и С;,i в порядке возрастания индекса t и затем в вычислении в обратном порядке величин р?, j+x (в порядке убывания шдекса £)•

Рекуррентные соотношения для прогоночных коэффициентов получаются следующим образом.

Предположим, что коэффициенты Лг,/+i и С/.у+хуже вычислены. Тогда, подставляя выражение для pj i,/+i

Pti, /+1=,-, /+1?. /+1 + С;, м

в следующее уравнение системы (21)

p?.i.m-2p?.m+p?-i.,4i е" Pli.i~Pli

(Ди)2 - 2pi, I т

получаем

Р\, hi - /+1, , 1+1 + /+1, j+i

>1(Ч1,/+1= -

(Л

Ci+1, /+1 =- - =Aui, 1+1 \ С,-,+

(Ац)2е%,,/ о I (А")е- - \ 2т

(30)

Следовательно, по формулам (23) вычисляются коэффициенты и Ci,j+i. Затем по рекуррентным соотношениям (30) вычисляются все другие прогоночные коэффициенты. При известных коэффициентах, как уже сказано, по формулам (29) и (26) определяются величины квадратов давления (а затем и давления в первой степени) в каждой узловой точке i в момент времени (/ -f 1) т.

В такой последовательности проводятся расчеты на каждом временном слое до заданного момента времени в.

В табл. 9 приведены результаты расчетов для безразмерного дебита q* = 0,1

при соотношении радиусов = 5000 [39]. По результатам этой таблицы

построены профили квадратов давления по пласту (в функции и) в разные моменты времени в (рис. 38). Из рисунка следует, что решение задачи в координатах р* ч-и имеет почти прямолинейный характер. Поэтому оказалось возможным при решении выбрать достаточно большой шаг Аии ограничиться проведением расчетов лишь для 17 узловых точек по пространственной координате.