Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 [ 49 ] 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124

промежуточном временном шаге и А + 1-м временных шагах использовать метод прогонки.

Таким образом, по Д. Дугласу вначале, например, методом прогонки решается система уравнений (2). Прогонка осуществляется на каждой строке сеточной области вдоль оси Ох. При этом значения второй производной от и по у в каждой узловой точке вычисляются на основе известного решения задачи

на Л-м временном слое. Получается промежуточное решение задачи на к-\- --

временном слое. Так же решается система уравнений (3) (с учетом граничных условий). Получаемое решение является искомым и соответствует к + 1-му моменту времени.

Таким же образом отыскивается решение задачи на каждом следующем вре-меннбм слое, вплоть до интересующего нас момента времени Т.

По методу А. А. Самарского уравнение (1) аппроксимируется следующими системами конечно-разностных уравнений:

для к -\- -2~го момента времени

Я+- , ft +- й+- Я+- ,

Т - (ДХ)2

и для к -Ь 1-го момента времени

„ft+l „ 2 „ft+l 9„*+1

-/?;,• (5)

Кансдая из систем уравнений (4) и (5) вместе с граничными условиями содержит в общем случае по (ге -f- 1) алгебраическому уравнению с (п -Ь 1)* неизвестными. Системы (4) и (5) имеют трехдиагональную матрицу (на каждой строке или столбце сеточной области). Поэтому, как и в предыдущем случае, для их решения можно использовать эффективный метод - прогонку.

Последовательность решения систем уравнений (4) и (5) ничем не отличается от порядка решения систем (2) и (3). Обращаем лишь внимание на то,

ft+-L

что, согласно А. А. Самарскому, -f /*/ = /, т. е., например, сумма значений мощности источника в точке с координатами (i Дх, / Ду) на Л;-Ь -g- и Л --

-Ь 1-м временных слоях равна истинному значению мощности источника.

Конечно-разностные уравнения (2) и (3); (4) и (5) являются неявными, абсолютно-устойчивыми. Они аппроксимируют исходное уравнение с погрешностью порядка О [(Дх)2 -f т].

Если рассматриваемый процесс описывается дифференциальным уравнением параболического типа

то, согласно А. А. Самарскому, уравнение (6) может быть аппроксимировано следующими системами конечно-разностных зфавнений:

к+- к+- к+- h+- + ,

ouo,b,i -{aV (Ax)2 -/ T

„fe+l „ft+l ,.k+l k+1 k+1 t

JMi+.,,,.„!fJ-,,,,ii !£J =„. ,8,

Методика решения и все отмеченные особенности, характерные для систем (4) и (5), остаются в силе и для систем алгебраических уравнений (7) и (8).

А. А. Самарским показано, что аппроксимация уравнения (6) разностными уравнениями (7) и (8) справедлива как в классе переменных, так и разрывных коэффициентов а и v.

Подобного обобщения для метода Д. Дугласа не имеется. Однако экспериментально показано, что метод Д. Дугласа дает хорошие результаты при переменных коэффициентах а и v.

Необходимо отметить, что при использовании метода А. А. Самарского имеют значение процесс организации прогонки и момент вывода результатов на печать. Решение систем разностных уравнений начинается с одной серии прогонок, например по оси х. Затем выполняются дважды прогонки по оси у, дважды прогонки - по оси а; и т. д. Перед выводом результатов на печать производится лишь одна серия прогонок по оси х. При выполнении этого правила расчет дает правильные не только количественные, но и качественные результаты. Если это правило не выполняется, то при верных, например, значениях забойного давления получается некачествненной карта изобар, построенная по всей совокупости узловых точек области интегрирования.

Определение показателей разработки месторождений природного газа при газовом режиме в общем случае сводится к интегрированию нелинейного дифференциального уравнения в частных производных параболического типа

д Г к (X, у, р) h (X, у)

dpi-\ , д Гк (X. у, р) h (х, у) dpi

Ц (Р) Z (р)

дх J > ду I ii(p)z (р)

ду J

= 2а (х, у) т (х, у) h (х, у)

dt Lz(p)J

В качестве краевых условий при интегрировании уравнения (9) будем рассматривать следующие:

г = 0. р(х, г/) = рн = const; (z, у) G; др

= 0, (х. у) е Г;

Р др

к (а:, у, р) h (аг, у)

(Р) Z (р) Рат dl

(10) (И)

ds; (х, y)si\

(12)

i=l, 2, . . ., га.

В результате решения задачи (9)-(12) требуется найти изменение во времени пластового давления и давления на забоях эксплуатационных скважин.

Для решения задачи (9)-(12) воспользуемся методом Д. Дугласа из тех соображений, что расчетные формулы для метода А. А. Самарского получаются как частный случай из разностных уравнений для метода Д. Дугласа. Из приводимого ниже изложения видны особенности применения численных методов.

Ранее отмечалось, что при решении задач разработки газовых (нефтяных) месторождений приходится сталкиваться с понятием фиктивной скважины (см. § 8 данной главы).

В условии (12) в качестве контуров «/ примем соответствующие контуры фиктивных скважин радиусом Лс.ф= Лс 4- 0,208 Да:1. Следовательно, за пределами радиусов Лс. ф 1 будем рассматривать неустановившуюся фильтрацию газа по линейному закону Дарси, описываемую уравнением (9). Особенности фильтрации газа в призабойной зоне будем учитывать в пределах радиусов фиктивных скважин (нарушение линейного закона фильтрации, несовершенство скважин по степени и характеру вскрытия и т. д.).

1 Излагаются результаты исследований авторов, проведенных совместно с Н. X. Гарифуллнной. Иной алгоритм решения задачи см., например, в работе [47].

Тогда ввиду относительной малости Лс. ф условие (12) с незначительной погрешностью может быть записано в виде:

(13)

9.(0 = 2дЛс.ф(а.-) "Дс.ф(а.)ср/\ * Ч Рат SI Уср Рат V 1 /ср

Ир) MP) " ("аГ)с -«Рад=«е вдоль контура

значения соответствующих величин.

Условие (13) означает, что дебит укрупненной скважины принимается равным дебиту реальной газовой скважины. В связи с малыми запасами газа в пределах области с радиусом Лс * это допущение вьтолняется с высокой степенью точности.

Г г 5.

Рис. 46. Схема аппроксимации области газоносности сеточной областью

При решении задачи (9)-(11), (13) методом конечных разностей удобно ввести следующие безразмерные переменные:

v*(x*, у*) = а(х*, у*)т*{х*, y*)h*{x*, у*); hkoP ко то /д,о

h* = -

Здесь L - характерная длина; величины с нулевыми индексами - характерные величины (например, А, = max к (х, у, р); А, = max h (г, у); = = max т {х, у); (*„ = max ц,(р)).

Относительно данных переменных задача (9)-(И), (13) переписывается следующим образом:

1*2 -1

f

,*2П

dp*i и ду* А

zp* V Z dp* I ae

a) при e= 1,

p*{x*, г/*):=1;

(15)