Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 [ 48 ] 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124

Таким образом, по известному решению задачи на момент времени t предлагается рассчитывать электрические сопротивления по формуле

(13)

и перенабирать их для отыскания решения задачи (1)-(4) на момент времени t -\- At. Это означает, что линеаризация уравнения (1) осуществляется на каждом временнбм слое. При достаточно малом шаге по времени At данная линеаризация обеспечивает большую точность, чем методы, рассмотренные в § 7. При необходимости (при достаточно большом шаге At) на каждом временнбм слое реализуется итерационный процесс.

После перенабора сетки сопротивлений в качестве начального условия задается поле напряжений, полученное для момента времени t, и отыскивается решение задачи на момент времени t -\- At.

Итак, решение на электрических моделях задач неустановившейся фильтрации идеального газа возможно осуществлять по шагам при введении коэффициентов пропорциональности согласно (10), удовлетворении условиям подобия (И) и (12), пересчете и перенаборе на каждом временном шаге электрических сопротивлений.

Дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации реального газа в реальной, неоднородной по коллекторским свойствам пористой среде записывается в виде:

к (х, у, р) h (x, у) dpi

Ц (р) z (р) дх J > ду I

= 2а{х, у)т{х, y)h{x, у)

к (х. у, р) h (x. у) dpi л (р) Z (р) ду J

dt Lz(p)J-

При введении функции ф, согласно соотношению уравнение (14) записывается в виде:

(14)

(15)

h (х, у) h (х. у)

Z{p)-P

dz (р)

dp J к* (р) z (р) р

дх J dy \ Иат ду J

JiPLaix, у)т{х, y)h{x, у)

(16)

Краевые условия относительно функции ф переписываются аналогично тому, как показано в § 7.

Уравнение (16) в отличие от (14) и в левой и в правой частях записано относительно одной неизвестной функции - ф. Кроме того, нелинейность уравнения (16) определяется лишь членом перед производной по времени.

Нетрудно видеть, что если нри отыскании решения на момент времени t -\- At нелинейный член в уравнении (16) вычислять по известному решению на момент времени t, то решение уравнения (16)

при соответствующих краевых условиях может быть получено на сетках RC. В этом случае значение емкости в каждой узловой точке будет вычисляться (а затем уточняться в итерационном цикле) по формуле

С = С,

И* (Р)

dp J к* (р) Z (р) р

amh.

Связь между электрическим и натурным временами задается соотношением = Cft. Остальные коэффициенты пропорциональности вводятся так же, как в § 7, при соблюдении соответствующих условий подобия.

Перед отысканием решения задачи на момент времени t -\- At в качестве начального задается поле напряжений, соответствующее моменту времени t.

Отметим, что при решении уравнения (16) может быть использован также подход, основанный на методе корректируюпщх токов (Н. Г. Степанов).

Изложенные здесь методы пошагового пнтегрирования на сетке RC уравнений неустановившейся фильтрации газа связаны не только с необходимостью увеличения точности решения соответствующих краевых задач. Методики, основанные на введении переменной т, не позволяют, например, решать задачи создания и эксплуатации подземных газохранилищ в истощенных месторождениях. Нельзя также прогнозировать процесс нарастания давления (после некоторого периода разработки на истощение) в газоконденсатном месторождении с целью добычи выпавшего в пласте конденсата. Эти задачи без принципиальных затруднений могут решаться с применением изложенных в данном параграфе методов.

На электроинтеграторе УСМ-1 была решена задача о неустановившемся притоке идеального газа к галерее при безразмерном дебите д* = 0,5. Для сопоставления использовано практически точное решение соответствующей задачи, полученное на ЭВМ [39].

Результаты расчетов показывают, что линеаризация дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации газа с использованием среднего пластового давления при больших процентах отбора от запасов газа (или при значительной «глубине» общей депрессионной «воронки») приводит к погрешностям в десятки процентов и более. Пошаговое решение соответствующей задачи дает погрешность около 5-6% (к концу разработки газовой залежи).

§ 10. Численные методы определения показателей разработки газовой залежи при неравномерном расположении скважин

Процессы неустановившейся фильтрации газа или жидкости в пористой среде описываются дифференциальными уравнениями в частных производных параболического типа. Исследования в области теории теплопроводности, диффузии и др. также связаны с необходимостью интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений параболического типа.

Одномерные краевые задачи для уравнений параболического типа хорошо изучены. Имеется значительное число аналитических решений различных краевых задач. Аналитическому решению двумерных (по х и у), особенно фильтрационных, задач посвящено сравнительно небольшое число исследований. Полученные решения основываются на ряде упрощающих положений, однако из-за громоздкости они малопригодны для практических расчетов.

В связи с невозможностью получения аналитического решения краевых задач для многомерных дифференциальных уравнений параболического типа в последние годы предложены различные численные методы решения, чему способствовал значительный прогресс в создании быстродействующих ЭВМ.

Численные методы и электронные вычислительные машины позволяют решать в настоящее время многочисленные прикладные задачи, описываемые многомерными дифференциальными уравнениями параболического типа.

Применительно к теории и практике разработки газовых (и нефтяных) месторождений достаточно рассмотреть численные методы решения двумерных (по X и у) уравнений параболического типа. Строго говоря, процессы фильтрации, происходящие в пласте при разработке газового месторождения, протекают во времени в трехмерном эвклидовом пространстве. Однако для рассмотрения трехмерных фильтрационных потоков требуется огромная геолого-физическая информация. Получение по ограниченному числу скважин исчерпывающей и достоверной исходной геолого-физической информации для решения трехмерных фильтрационных задач представляет сложную проблему. Этим в известной мере определяется рассмотрение здесь лишь двух методов (Д. Дугласа и А. А. Самарского) численного интегрирования двумерных уравнений параболического типа. Эти методы применительно к фильтрационным задачам апробированы В работах кафедры и проблемной лаборатории по газу МИНХ и ГП им. И. М. Губкина.

Идея методов Дугласа и Самарского наиболее наглядно иллюстрируется на примере следующего дифференциального зфавнения:

ди ди . diu Здесь / - плотность источника (стока).

Рассмотрим пока алгоритм решения уравнения (1) в квадратной области. На формулировке и записи начального и граничных условий останавливаться не будем, так как эти вопросы не представляют принципиальных трудностей и освещаются в дальнейшем изложении. Запись же исходного уравнения в форме (1) и последующие конечно-разностные аппроксимации покажут, как необходимо учитывать граничные условия по скважинам.

Сущность методов численного интегрирования двумерных уравнений параболического типа состоит в таком «расщеплении» исходного уравнения, что решение задачи получается в результате последовательного решения одномерных разностных задач.

Согласно методу Д. Дугласа, при известном решении задачи на fc-м временнбм слое решение на {к + 1)-м временнбм слое получается в результате последовательного решения следующих двух систем конечно-разностных уравнений:

0,5т (Да:)2 "г (Д2,)2 i.i

ft+i *+-!-

0.5t ~ (Дх)2 "г (Дг/)2 -i.i-

Здесь uf+/, Ui, j - значения функции в узловой точке с координатами i Дг и / Ду соответственно в (А: -Ь 1) и к-а моменты времени; i, j, к - номера узловых точек вдоль осей х, у и t; г = 1, 2, . . ., га - 1; 7 = 1, 2, . . ., га - 1; А; = = О, 1, 2, . . .; Ах, Ау, т - элементарные шаги соответственно по осям х, у, t. При г = 0ига;/ = 0иге используются условия на внешней границе рассматриваемой квадратной области интегрирования; при fe = О используется начальное условие.

Системы уравнений (2) или (3) представляют собой системы из (га - 1)* алгебраических уравнений с (га - 1)* неизвестными. С учетом граничных условий системы (2) и (3) в общем случае будут системами из (га -f 1) алгебраических уравнений с (га -j- 1) неизвестными. Характерным для систем (2) и (3) является то, что они имеют трехдиагональную матрицу (на каждой строке или столбце сеточной области). Это обстоятельство позволяет при нахождении решения на