Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 [ 51 ] 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124

Систему уравнений (18) представим в следующем виде:

2 „ 2

Здесь

Ч 2 dp Jij

2v/,/ (Ax)2

ft fe .ft

(32)

Предполагаем, что нелинейные члены на + ---мвременнбм слое уточняются в результате итераций. Обозначим через s номер итерации. Тогда, на-

(s)ft44-

пример, под величиной pj будем понимать значение давления в точке (/, ;) в (к + -j- момент времени, вычисленный в результате s-й итерации. При s=0 принимается

т. е. в первом приближении давление на {к -Ь ---м временном слое, необходимое для уточнения нелинейных членов, принимается равным давлению в А-й

момент времени. Найденное в результате поле давлений принимается за pf,/ при отыскании нового приближения и т. д. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока максимальная разница в давлениях не будет различаться на ааданную величину погрешности, т. е. до выполнения неравенства

(33)

Согдасно изложенному, уравнения (31) и (32) могут быть написаны в виде:

".JL , -Ч/ Pli PU,f =-i. ; (34)

/ JSi 1

Pl,l

/-4-

2v/,y(Ax)2

(s)+T«»*T

Pl,t

V z dp

s = 0, 1, 2, ...

Система уравнений (34) представляет теперь систему линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. Поэтому для ее решения можно воспользоваться методом прогонки.

Каждая строка и столбец рассматриваемой сеточной области имеет различное число узловых точек. Будем считать, что самые левые узловые точки имеют порядковый номер О (i = 0). Соответственно для самых «нижних» узловых точек принимаем j = 0. Самые крайние (на строчках) узловые точки будем нумеровать через п {i = га), а самые «верхние» - через т (j = т).

Решение системы уравнений (34) отыскиваем с использованием следующего рекуррентного соотношения:

(S+1)

1>, 2 (8+1)"+ 2 , „

Чтобы представить рекуррентное соотношение (34) в виде (36), необходимо р 1 у . Согласно (36), p? j у выразим через р? у . Тогда

1) * 2 Т

=DiJ Pfj (37)

(36)

из (34) исключить*

Подставив (37) в (34), получаем

(S) +Т «) г (S+1)

Ч/ -",.±.,11.1 j Pl,

(38) 157

Из уравнения (38) следует уравнение (36), если прогоночные коэффициенты вычислять по рекуррентным соотношениям:

(S) + Т <s) "l" £.41,/ =-i-\-. (40)

Значения коэффициентов и Eij определяются исходя из граничного условия на левом конце каждой /-и строки. Это условие для /-йстроки, согласно принятой нумерации узловых точек, дает

(5+1)"+ 2 (S+I), + 2

Pli = Pi I • (41)

С учетом рекуррентного соотношения (37) получаем

Dui=U El, 1 = 0. (42)

Последующие значения прогоночных коэффициентоввычисляются согласно (39) и (40).

Исходя из граничного условия на правом конце j-a строки (S+1) "T (s+dJ*-

(S+l) 2

Pn-Ui= Pi,, • (43)

Тогда значение Pn-ij с учетом (36) вычисляется по формуле

-..,,-£. (44)

Последующие значения р» 2 у, Рл-з,/--- P\,i вычисляются с использованием найденных значений прогоночных коэффициентов по формуле (36).

Таков порядок определения квадратов давлений (а следовательно, при извлечении корня - и давлений) на ;-й строке, если на ней нет узловой точки со скважиной. Теперь пусть в (i, /)-й точке находится скважина. В этой узловой (особой) точке должно выполняться граничное условие (29).

Уравнение (29) с учетом (37) можно записать в виде:

=(/),-,/-2) р2 + plj +

+ Ei,i + pf, -2ptj + Pl,i. (45)