Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [ 10 ] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

прежней), то при том же перепаде фильтрационный расход не уменьшится. Формально это сводится к тому, что рассматривается коэффициент продуктивности Л как функционал от формы области D я от распределения в ней проницаемости и показывается, что этот функционал является монотонным по k:

Л = Л[Д k], Л, = A[D, ki], (11.64)

A>Ai, если k{M) > ki (М), для всех MD. Действительно, пусть {р, и) - решение, отвечающее распределению проницаемостей k, а {Pi, «i}-решение, отвечающее распределению ki. Имеем:

Ai = 2a-ip-2F* [ри h] < [р, kx\ =

= 2t.-P-2F* [p, k\ = Л. (11.65)

При этом первое из неравенств (11.65) следует из того, что р\ минимизирует функционал Y*[f, k\\, а второе - просто из того, что k> ki.

В частности, при введении в область течения непроницаемых перегородок коэффициент продуктивности будет уменьшаться, а при введении областей бесконечной проницаемости - увеличиваться.

Разобьем поток тонкими непроницаемыми поверхностями на множество тонких трубок тока, таких, что течение в каждой из них можно считать одномерным. (Это эквивалентно заданию направления линий тока в каждой точке пласта.) Тогда по доказанному подсчитанный таким образом коэффициент продуктивности окажется меньше действительного.

Напротив, если зададим форму поверхностей постоянного давления (изобар) (что эквивалентно введению в поток множества бесконечно тонких поверхностей бесконечной проницаемости), то рассчитанный таким образом коэффициент продуктивности окажется завышенным по сравнению с действительным (см. пример 3).

Еще одно важное утверждение получим следующим образом. Выберем вблизи непроницаемой (боковой) границы области течения примыкающую к ней подобласть Д и будем уменьшать проницаемость в ней до нуля. В пределе будем иметь новую область течения с вырезанной подобластью (с вдавленной границей). По доказанному ранее коэффициент продуктивности уменьшится.

С другой стороны, если область примыкает к одной из изобар - входной Ci или выходной Сг - и проницаемость в ней стремится к бесконечности, то в пределе получим область со вдавленной внутрь входной или выходной границей. По доказанному ранее коэффициент продуктивности при этом увеличится.

Таким образом, имеем так называемый принцип вдавливания. При «вдавливании» в область фильтрации непроницаемых границ коэффициент расхода уменьшается, при

вдавливании» входной и выходной изобар коэффициент расхода увеличивается. Отсюда уже непосредственно получаем принцип сравнения областей: если входная изобара Ci (контур питания) для области D может быть заключена между входными изобарами для областей D* и D, D,c:Dc:D*, то коэффициент продуктивности для области D принимает промежуточное значение между коэффициентами продуктивности для областей D, и D*:

Л* < Л < Л. (11.66)

Для однородных областей (к = const) ряд оценок можно получить, используя так называемые теоремы о симметризации. Известно [32], что если область D подвергается симметризации (относительно плоскости, прямой, точки) или последовательности отражений, то

уменьшается интеграл f ут \dV. Отсюда следует, что симметри-

зация области движения приводит к уменьшению коэффициента продуктивности (см. пример 4).

Можно рассмотреть и более общий вопрос о пределах изменения коэффициента продуктивности области, если объем ее фиксирован. Поскольку ясно, что, сближая входную и выходную изобары, можно, не уменьшая объема области, получить сколь угодно большой расход, очевидно, что верхней границы для коэффициента продуктивности не существует. Однако существует нижняя граница. Одна из возможных при этом постановок задачи состоит в следующем. Рассмотрим бесконечную трубку С, и пересекающую ее поверхность Сг. Поставим задачу об определении такой поверхности Сь отсекающей вместе с поверхностями С2 и Cq область D заданного объема V, чтобы коэффициент продуктивности этой области (при входе d, выходе Сг и непроницаемой границе Cq) был минимален.

Оказывается [17], что на искомой границе Ci должно выполняться дополнительное условие постоянства потока: «„ = const. Для однородного пласта это позволяет в явном виде сформулировать и решить задачу отыскания области минимального расхода.

Пример 1. Пусть задан горизонтальный пласт постоянной мощности с контуром питания С, на котором поддерживается постоянное давление Pq, и с л эксплуатационными скважинами радиусов г, помещенными в точках (к/к)-нологическим соображениям для каждой скважины устанавливается некоторое минимальное допустимое значение забойного давления Р~. Требуется так вьюрать забой, ное Давление Р из Допустимого диапазона для каждой скважины

чтобы суммарный дебит скважин Q был максимальным.

Прямое решение этой задачи требует достаточно сложных расчетов. Вначале следовало бы, решая задачу напорной фильтрации для области со скважинами, найти зависимость дебитов от забойных давлений:

где All--матрица коэффициентов влияния, а затем максимизировать сумму

*=i I, k=i

с учетом ограничения (11.67).

На самом деле во всем этом нет необходимости. Основываясь на принципе максимума, можно показать, что максимальный суммарный дебит достигается при минимальных допустимых забойных давлениях.

Действительно, пусть Pq(x, у) - решение задачи напорной фильтрчции, отве-

чаюшее граничным условиям р\С = Р~, а р {х, у) - решение для другого набора значений давлений на скважинах Р, удовлетворяющего условиям (11.67).

Составим разность р (х, у) = р - Ро- Так как задача напорной фильтрации линейна, р - решение, которое на контуре питания Со обрашается в нуль, а на контурах скважин принимает положительные значения. По принципу максимума во всей области фильтрации

р{х, у) > О = minp (Cq, Ср . .., С, . . ., С„}.

Отсюда и из условия на контуре питания Ро = 0 находим, что на контуре

питания др/дч > О, где v - направление внутренней нормали. Следовательно,

«V - «0v = - {ро1дч - dpld) < О,

Q - 5 u,dS < Qo = ; Uo,dS. с с

Это и доказывает сделанное утверждеш1е.

Пример 2. Рассмотрим скважину радиуса р, центрально расположенную в круговом пласте радиуса R. Допустим, что эта скважина окружена зоной с проницаемостью k*<k. Попытаемся оценить, как это повлияет на дебит скважины.

Обозначим через г и максимальное и минимальное расстояния от центра скважины до границы зоны ухудшенной проницаемости. Дебит скважины оказывается заниженным, если считать зону измененной проницаемости кругом радиуса

и завышенным, если принять радиус зоны равным / . Таким образом,

Q+ < Q < Q ; Q± = 2-kh (Р - Р) (1п R/r + k/k In r/p). (11.67)

Фактически, если размер загрязненной зоны составляет несколько метров, а г и отличаются в несколько раз, правые и левые части неравенства (11.67) близки между собой. В результате оказывается излишним детальное исследование влияния формы зоны на величину дебита.

Пример 3. Рассмотрим пласт, имеющий форму равнобедренного треугольника ABC, в вершине А которого с углом а расположена скважина радиусом р. Допустим также, что стороны АВ и АС непроницаемы, а основание ВС является изобарой («контуром питания»). Для оценки дебита скважины примем сначала, Что пласт разбит прямолинейными границами на узкие секториальные трубки тока. Суммируя их дебигы, получим

Q = (3 = f P[ln-A l-d. = ?/ (;fln--lncosJ~V (11.68)

jJ [Л [ pcOStpJ [Л J t

Затем, разбивая пласт на тонкие слои концентричными со скважиной изобарами, получим

0=Q-,&p = Q.[-JL;Q,=.J!l. (11.69)