Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 [ 59 ] 60 61 62 63 64 65 66 67 68

Будем действовать по аналогии с исследованием решения вблизи скачков насыщенности (см. гл. IV). Пусть S - поверхность разрыва концентрации, отвечающая крупномасштабному приближению. Будем считать ее гладкой и введем в окрестности этой поверхности локальную подвижную систему координат U, I2, Ь. где $2 и $з - криволинейная ортогональная сетка координат на поверхности 2; 1\ - координата, направленная по нормали к ней.

Запишем уравнение линий тока фильтрационного течения:

r = R(Mo, t), dRldt==u{r).

Здесь Mq - положение отмеченной точки на поверхности разрыва при / = 0. Дальнейшее движение поверхности разрыва в силу соотношений на скачках описывается уравнением

rRi (Мо, t), dRi/dt = и(r)/m[I + А(с(Мо))] = V.

В локальной системе координат уравнения переноса примеси примут вид:

tl!!-(V{) (mc + a) + («VE)c= V£(Z>VacV

- = (Kve)« = ?- (V.32)

В координатах переменные с я а гладко изменяются по направлениям $2 и b и резко по направлению Si. Произведем растяжение переменных, положив

CfD-S,, x = D-4. (V.33)

Упрощая полученные уравнения (опуская малые члены по аналогии с гл. IV), получим внутреннюю задачу:

dc d (тс + о) dc г f

РИС. 57. Характерный вид решения в задачах переноса сорбирующейся примеси. Изотермы сорбции: / - выпуклая : 2 - сыешаииая; 3 - вогнутая

РИС. 58. К анализу уравнения (V.39)

J=?. c(±o=)c±, Q(±oo) = a±. (V.34)

Здесь un и Улг-нормальные к S компоненты скорости фильтрации и скорости скачка.

Краевые условия служат для согласования внутреннего решения с внешним. Интегрируя первое уравнение (V.34), получим с учетом условий на бесконечности

unC -VN{mc + a) - VnUcIcI:. = const = unC± - Vn{mc± + a±). (V.35)

Из второго уравнения (V.34) и условий на бесконечности получаем

а±=а(с±). (V.36)

Затем из (V.35) с учетом условий на бесконечности находим необходимое условие существования стационарного внутреннего решения, совпадающее с полученным раньше выражением для скорости скачка:

VN=UNlm{\ + [A]l[c]); А = а/т. (V.37)

Это соотношение выведено в предположении, что искомое внутреннее решение существует. Чтобы доказать его существование, рассмотрим уравнение (V.35) совместно со вторым уравнением (V.34) и покажем, что они имеют решение с требуемой асимптотикой при С -> + оо. Перепишем эту систему в виде

VNjr = (с- - с) + V Nlm {с - С-) + а - а-] =

{l+[A]/[c])m

a a- + (c-c-)V=

1 = 9(а, с). (V.38)

cic-. - МС} = С+-С-. (V.39)

Система (V.38) не содержит явно независимой переменной С, и ее удобно представить на фазовой плоскости переменных а, с. Имеем

da о If (а, с)

дг а - а~-{с - с~) а/с

Изоклины нуля Го: da/dc = 0 и бесконечности T„da/dc= со - уравнения (V.39) заданы, соответственно кривой а == а (с) и прямой а = а--f (с -С-) Да,Дс. Эти изоклины обязательно пересекаются в точках (рис. 58) М-(с-, а-) и М+{с+, а+) н разбивают представляющий физический интерес первый квадрант плоскости (с, а) на ряд областей, знаки производной da/dc в которых определяются следующим образом. При больших значениях а и малых с, очевидно, da/dc < 0; далее каждый переход через изоклину нуля или бесконечности приводит к смене знака. Поэтому для показанного на рис. 58 расположения изоклин точка М+ является седлом, точка -узлом, и имеется единственная интегральная кривая уравнения (V.39) -сепаратриса седла М+, соединяющая обе особые

точки. Отвечающее ей решение обозначим через а" (с). Если оно

найдено, то из уравнения (V.38) имеем

р (m + [ayic))dc

J а°(с)-а- + (с-с-){а--а+)/(с+-с-) >

При этом, как и должно было быть по условию задачи, интеграл расходится при c-vc±. Характер расходимости зависит от порядка касания линий Го и Г»» в соответствующих точках (см. гл. IV). Если эти линии пересекаются под конечным углом, то подынтегральное выражение в (V.40) имеет нуль первого порядка и С--

- 1пс -с± I, так что

с~с±+ C±exp(-Y±C), т+>0 Т" < О- (V.41)

Если допустить, что линии Го и Гоо касаются друг друга, то подынтегральное выражение (V.40) имеет нуль более высокого порядка, и стремление концентрации к ее соответствующему предельному значению оказывается степенным:

с - с± = О (I С -v± > 0. (V.42)

Заметим, что для возможности построения структуры скачка, т.е. внутреннего решений задачи, обладающего требуемыми асимптотиками, принципиальное значение имеет выполнение условий

а (с) > а (с") + (Да/Дс) (с - с~), с+< С < с~,

а(с)< а(с-)+(Да/Дс)(с -с+> с> с". (V.43)

Действительно, если это условие нарушается, не удается построить интегральную кривую, соединяющую точки М+ и М-, вдоль которой С изменилось бы монотонно. Таким образом, мы видим, что условия (V.43) необходимы и достаточны для существования внутреннего решения в виде равномерно движущейся волны концентрации. Поэтому, если ограничиться построением внешнего решения, из всевозможных вариантов разрывных решений, удовлетворяющих уравнениям баланса, нужно выбрать такие, для которых на каждом разрыве выполнены условия существования внутренней структуры (V.43). При этом получаем процедуру построения, описанную вышэ. Такие же соображения окажутся основными и в более сложных задачах, рассматриваемых в последующих параграфах.

§ 2. Вытеснение нефти растворами активных примесей

Понятие активной примеси. Основные уравнения. Рассмотрим двухфазное фильтрационное течение нефти и воды, предполагая, что вода (а возможно, и нефть) содержит некоторую добавку, способную влиять на гидродинамику потока. Такую добавку независимо от ее природы назовем активной примесью. Концентрацию примеси будем считать малой и не меняющей удельных объемов фаз. К активным примесям можно отнес-