Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 [ 58 ] 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

переносимых потоком примесей различной природы. Гораздо более сложная картина возникает, если существенно влияние примесей друг на друга и на гидродинамику. Рассмотрим пока основные особенности задачи о переносе фильтрационным потоком динамически нейтральной (т. е. не оказывающей обратного влияния на поток) примеси.

Будем считать, что заданы характерный линейный размер потока L и характерная скорость U. Тогда, вводя безразмерные координаты и время т,

kiXilL, ztU/L, (V.20)

получим из (V.13) (V.14):

д{ж + а) дс D дс да L , ,

-Чг- + аГГ = -ср(а, с, «);ш,= «,/(/. (V.21)

По сделанным оценкам при наличии макроскопического фильтрационного потока D - UI, так что D/UL - 1/L. Эта оценка показывает, что для переноса примеси в пористой среде число Шмидта (часто называемое также диффузионным числом Пекле Ре) Sh = = UL/D, характеризующее относительную роль конвекции и диффузии, имеет порядок отношения L/1 линейного размера потока к внутреннему масштабу пористой среды I и потому обычно много больше единицы.

Рассмотрим для уравнения (V.21) внешнее приближение, отвечающее по предыдущему (см. гл. IV) исследованию процесса в масштабах всего пласта, т. е. перейдем в системе (V.21) формально к пределу L-voo. Тогда получим

(ж + 0),,+ wicu = О, ср (а, с, w) = 0, а = а. (с, w). (V.22)

Соотношение (V.22) представляет собой уравнение переноса нейтральной примеси в крупномасштабном приближении. Физически оно соответствует пренебрежению диффузией и предположению о равновесном распределении примеси между твердой и жидкой фазами. Дифференциальные уравнения (V.22) легко интегрируются в общем виде для любого стационарного потока. Действительно, рассмотрим произвольную линию тока фильтрационного потока, определяемую параметрически условиями

ds/dt = nfw, dXi = nTWi, хЩ = x\. (V.23)

Здесь xi - координаты жидкой частицы в момент t = to - характеризуют выбранную индивидуальную линию тока. Согласно уравнениям (V.22), скорость движения вдоль линии тока и можно считать известной функцией длины дуги в, и = и (s). Пусть в момент t = t в точке уИ" {л:?} концентрация примеси равна с". Рассмотрим точку М, движущуюся по линии тока Г", проходящей через М° со скоростью

v(s) = «(.s)[m-f а,с]-. (V.24)

при этом в точке М имеем:

dc(M) дс дс дс ",• () дс dt dt dXi~ dt m + acdxi~

Таким образом, каждое значение концентрации примеси переносится по пласту вдоль линий тока со скоростью, равной скорости жидкой частицы и/т, умноженной на постоянный множитель (1 + + а с/т)-, меньший единицы.

Весьма важно, что на перенос вдоль данной линии тока совершенно не влияет характер распределения примеси в поперечном направлении. Таким образом, в внешнем (крупномасштабном) приближении процесс переноса примеси описывается одномерным уравнением

[тс + а (с, и (S))] + «1 = 0. (V.25)

Как было упомянуто (см. § 2, гл. IV), общее решение этого уравнения имеет вид

/ = /(с, 5) = /о + (1 + Л(с)) J Д; А = . (V.26)

Это выражение определяет время прихода примеси заданной концентрации с в точку с координатой s вдоль линии тока. Ему можно дать иную, более ясную физическую интерпретацию. Рассмотрим узкую трубку тока, окружающую данную линию тока. Из условия неразрывности для ее нормального сечения со (s) легко получим

U) (S) и (s) = u)o«o = const.

Поэтому интеграл в (V.26) пропорционален объему 5 (s) трубки тока между сечениями, отвечающими значениям координаты so и s. Этот объем монотонно зависит от s, и его удобно использовать в качестве универсального параметра вдоль линии тока, так как уравнение переноса и его общее решение при этом принимают особо простой вид:

+ S{c) = So{c) + uo{t-U)/m{\+A{c)). (V.27)

Иными словами, в плоскости /, 5 каждое значение концентрации с переносится с постоянной скоростью, отношение которой к скорости потока Uo/m зависит только от с.

Дальнейшее исследование производится вполне аналогично анализу вытеснения в задаче Баклея - Леверетта. Начальными и граничными условиями определяется на плоскости t, S линия, вдоль которой заданы значения концентрации. Эти значения переносятся по проведенным через граничные точки прямолинейным характеристикам (V.27). Если характеристики не пересекаются между собой, то решение задачи оказывается (во всяком случае, при гладких начальных условиях) гладким. Если же характеристики пересека-

ются, то даже при гладком начальном распределении решение оказывается разрывным. Поскольку, как видно из (V.27), наклон характеристик в плоскости (/, 5) пропорционален (1 +А,с)~, характер решения вполне определяется начальными и краевыми условиями и видом изотермы сорбции а (с). Если начальное возмущение концентрации имеет вид «ступеньки»

c(s, 0) = со, с(0, 0 = с", (V.28)

то возникающая волна концентрации распространяется как сту" пенька с постоянной скоростью при

(с" -Со)Л"(с)<0, eg (Со, с»)

и в виде непрерывной вслны, если нерно обратное неравенство. Если на отрезке (со, с) знак кривизны изотермы сорбции изменяется, то при помсщи соотнсшений (V.26) получаем комбинацию скачков и непрерывных волн.

При этом на скачках концентрации выполняется соотношение баланса примеси (см. гл. IV)

[c] + [A]V[c], [!:] = С+-С-. (V.29)

Результат исследования задачи о распространении по пласту заданного на входе (л; = 0) начального скачка концентрации - условия (V.28) - удобно сформулировать в следующем виде.

Пусть Со < с". Определим при Со < с < с" функцию

Л. (с) = min Л (с), Л (с) 4- 1 / (с-с)

(V.30)

которую назовем вогнутой оболочкой функции Л (с). Если представить себе график Л (с) вырезанным из жесткого материала шаблоном, то график (с) будет соответствовать форме нити, натянутой между точками со, А (со); с", А (с") снизу на этот шаблон. Тогда устойчивое решение задачи о распространении скачка дается соотношением

S(c, i) = uot/m{l + А[(с)), (V.31)

причем, как видно из (V.31), прямолинейным участкам А (с) отвечают скачки с (5, t), а вогнутым дугам - участки непрерывного изменения концентрации. Угловым точкам Л,(с) соответствуют участки постоянства с при изменении 5. На рис. 57 показаны возможные типы решений, отвечающие различным формам изотермы сорбции а (с).

Аналогии между задачами переноса сорбирующейся примеси и задачами двухфазной фильтрации не ограничиваются описанием процесса в крупномасштабном приближении. В области скачков градиент концентрации и производная ее по времени, отвечающие крупномасштабному приближению, бесконечно велики, и, какими бы малыми не были диффузия и время релаксации, пренебрегать ими нельзя.