Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 [ 22 ] 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

РИС. 15. Интегральные кривые уравнения (II. 209).

РИС. 16. Функции f 1 (£, X) и -

ВЫСОКОЙ, этим самым определится порядок верхнего предела значений X. Пусть через скважину отбирается 1 ООО ООО м газа в сутки (имеется в виду объем при нормальных условиях); такой расход достаточно высокий. Пусть, далее, вязкость газа ]j. равна 0,01 мПа-с, проницаемость пористой среды k = 10~ м, мощность пласта Я = 10 м, начальное пластовое давление Р = 3 МПа (относительно небольшое давление для столь высокого отбора газа); считаем, что плотность р о соответствует Ро = 0,1 МПа. Таким образом, д/ро - есть заданный объемный расход газа, отбираемого через скважину. Переходя к одинаковым единицам измерения и подставляя приведенные параметры в выражение для X, получим Х;=0,04. Стало быть, в реальных случаях параметр X равен 0,01-0,02 и менее.

На рис. 16 изображены кривые Fi ($, X), отвечающие нескольким значениям параметра X, как положительным, так и отрицательным, а также соответствующие кривые - IdFi/dl. Из этих кривых видно, что в довольно значительной области вблизи точки $ = 0 (соответственно вблизи $ = Г(Х) для кривых, отвечающих Х< < 0) функция - %dF\jd% близка к своему значению при $ = 0 (соответственно при i = Г(Х), т. е. к X. При этом основное изменение функции F\ {%, X), т. е. основное изменение давления газа, сосредоточивается именно в этой области. При тех же значениях I, для которых функция - IdFi/dl уже существенно отклоняется от X. функция Fi (k, X) оказывается достаточно близкой к единице-В практически наиболее интересной области значений параметра X, равных по абсолютной величине одной сотой и менее, это свойство постоянства функции - ldF\/dl в области, где Fi(l, X) суще-

ственно отличается от единицы, выражено еще более резко. Обозначим через значение аргумента обладающее тем свойством, что при $ < значения -отличаются от X меньше, чем на 0,01 %. Стало быть, при $ < с этой же степенью точности выполняется соотношение

WFi/d = -X; f!{1, X)-f?($., Х)=-Xln$/f.. (11.215)

Проведенные численные расчеты показывают, что при X <0,01 величина Fi (;,, X) отличается от единицы менее чем на 0,03, так что при 1>1, справедливо неравенство 0,97<Fi($, Х)<1.

Отсюда следует, что с практически вполне достаточной точностью в этой области уравнение (П.209) для функции f i ($, X) можно заменить линейным относительно f] ($, X) уравнением

-(И#)+и=„. (11.2,6,

£ di

В последнем слагаемом добавлен множитель Fi (?, X), согласно предыдущему, мало отличающийся от единицы. Линейное уравнение (11.216) легко интегрируется, в результате получим

Wf?/d; = Cexp(-$2/8), (11.217)

где С-константа интегрирования. Определим эту константу из условия, что при S = величина IdFldl = -1. Имеем

С:= -Хехр (-$f/8). Так как для рассматриваемой практически интересной области Х<0,01, значение Г весьма мало (<0,01) и ехр (-1-8;) отличается от единицы не более чем в шестом десятичном знаке, то можно полагать С = - X.

Интегрируя уравнение (П.217), получаем при I >

F\{\, X) = D - X j ехр (- $2/8) dl. (11.218)

Находя константу интегрирования из условия fi(Go)=l, получим

f?= 1 -l/2XEi(-1/8;2). (11.219)

Находя из (11.219) Fi ($,, X) и подставляя в (11.215), получим F\=\- 1/2Х Ei (- 1/8;) - X In ($/$.). (11.220)

При малых с имеем асимптотическое выражение Ei(-l/8;2) = In (7$2/8),

так что

In ($/$.) = 1/2 [Ei (- $2/8) - Ei (- $f/8) .

Подставляя это выражение в (11.220), находим:

F\=\- 1/2Х Ei (- $2/8) ($ < $J. (11.221)

Сравнивая выражения (11.219) и (11.221), видим, что они совпадают. Отсюда следует весьма существенный вывод о том, что в

практически наиболее интересном интервале значений параметра X Х<0,01 функция Fi{k, X) представляется в виде (11.219) при всех значениях

Переходя от функции Fi ($, X) к давлению р по формуле (11.208), получаем, что распределение давления с весьма высокой степенью точности представляется для всех значений г и / в виде:

1 -XEi

8aPt

; -001<=-Т<001- (11-222)

Именно таким получилось бы решение задачи, если бы мы заменили в уравнении (П. 206) множитель р в правой части на значение р = Р этого множителя при г = оо, т. е. если бы при тех же граничных и начальных условиях перешли к линейному относительно р уравнению

Такой способ линеаризации уравнения (П. 206) был впервые предложен Л. С. Лейбензоном [26]. Приведенные расчеты показывают практически точное совпадение решения расматриваемой нелинейной осесимметричной задачи с решением линеаризованной задачи. Успех линеаризации объясняется в данном случае тем, что в случае осесимметричных движений область разбивается на две части: 1) область квазистационарного движения, соответствующая малым значениям , в которой сосредоточивается основная часть всего перепада давления, но поток газа почти постоянен, и 2) область малых депрессий (перепадов давления), в которой поток газа сравнительно медленно уменьшается, а перепады давлений малы.

В области квазистационарного движения не только разность величин rdp/dt и 2ард {гдр/дг)/дг равна нулю, как это следует из уравнения (11.206), но и каждая из них сама по себе исчезающе мала (сравнительно со значениями этих величин в тех точках, где они максимальны). Поэтому в этой области поток газа, равный - ккроН {i>.po)~rdp/dr, почти постоянен, а значение множителя при втором члене уравнения (11.206) несущественно, и с большой степенью точности можно заменить в этом множителе р{г, t) на Р. В области же малых депрессий, в определенной части которой оба члена уравнения (11.206) существенно отличаются от нуля, возможность такой замены обусловливается малостью разности р (г, t) - Р.

Обнаруженная допустимость линеаризации уравнений при описании нелинейных осесимметричных движений вне зависимости от возникающего перепада давления позволяет сделать важные выводы применительно к более общим классам движения. Эти выводы связаны с малостью безразмерного параметра к - безразмерного расхода - и могут быть в общем виде установлены применением широко известной техники сращиваемых асимптотических разложений.