Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [ 12 ] 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

родной слабосжимаемой жидкости в упруго деформируемом пласте. Это движение (см. § 1.4) описывается уравнением пьезопроводности для давления р

dpidt = X {dpldx + a->/i/2 + дplдz) xp, (11.83)

по форме совпадающим с классическим уравнением теплопроводности.

Область, в которой ищется распределение давления в жидкости, та же, что рассматривалась для стационарных течений: пористый пласт, часть границ которого непроницаема, а другая часть сообщается с вскрывающими пласт скважинами и соседними пластами.

Граничные условия в задачах линейной нестационарной фильтрации задаются на границах того же типа, что и в задачах напорной стационарной фильтрации: непроницаемых границах, скважинах, галереях, контурах питания. Однако теперь давление, напор или расход, задаваемые на скважинах или галереях, являются, вообще говоря, функциями времени. Часто в модельных задачах задается мгновенное изменение давления или расхода на скважине или галерее от начального до некоторого конечного, что соответствует физически быстрому пуску или закрытию скважины или галереи.

Все принятые обычно варианты граничных условий укладываются в общую форму

(ар + Ьдр/дп) = f(x, у, г, t), + Ф 0; Ь/а > 0. (11.84)

Из общей теории уравнения теплопроводности известно, что если на границе области задано условие (11.84), а в начальный момент времени t=0 условие

р(х, у, г, 0) = ч(х, у, Z), (11.85)

то существует единственное распределение давления р (х, у, z, t), удовлетворяющее уравнению (11.83) и условиям (11.84), (И.85), непрерывное в замкнутой области D, включая границу, на любом конечном интервале времени О < / < Т.

Хорошо разработанная техника решения уравнения теплопроводности (см., например, [40]) применима и к задачам теории упругого режима фильтрации. Однако специфика этих задач, связанная с наличием некоторых малых параметров (например, отношение радиуса скважины к расстоянию между скважинами, расстояние между скважинами к расстоянию до контура питания) в ряде случаев существенно упрощает решение.

В типичных условиях нефтяного или газового месторождения или водоносного пласта толщина пласта много меньше его горизонтальной протяженности, что позволяет рассматривать течение как плоскопараллельное. Рассмотрим несколько характерных случаев.

Плоскопараллельное одномерное движение. Пусть скорость течения параллельна оси х не зависит от координат г/ и Z. Давление при этом удовлетворяет уравнению

dp/dt = удр/дх 0<x<L. (И.8о)

Наиболее интересны случаи, для которых в начальный момент времени движение в пласте стационарно. Поскольку стационарное распределение давления также удовлетворяет уравнению (П.86), удобно отсчитывать давление в каждой точке от стационарного значения Р о (л:). Таким образом, разность Р = р -Ро удовлетворяет уравнению (П.84) с нулевым начальным условием Р (л;, 0) = 0.

Пусть при x=L (на контуре питания) давление сохраняет постоянное значение, равное начальному, а через сечение л; = 0 отбирается жидкость, и давление в нем меняется по закону p-f{t). Чтобы получить решение при указанных начальных и краевых условиях, применим преобразование Лапласа, т. е. введем функцию

L{P{x, t)] = P(x, о) = Jе-Р(л;, t)dt. (П.87)

Для Р получим задачу

Р(0) = L(f(0) = Р(о); /пя8\ dP/dx~,P = Q; У I "-

P(L) =0; = а/х.

Имеющую решение

P = F(o)sh[(L -A;)v]/sh(b). (П.89)

Чтобы перейти от изображения к функции Р {х, t), предположим вначале, что в сечении л; = О давление мгновенно принимает фиксированное значение Р = р° фО. Тогда F (а) = p°h.

P = (pO/o)shl(L - x)]/sh(U). (И.90)

Рассмотрим асимптотику решений при малых временах, чгму, согласно теории преобразования Лапласа, соответствуют большие значения а. Выразим в (И.90) гиперболически г функции через

показательные и, считая 2L 1, разложим это выражение в

ряд по степеням ехр (-2Lo/x), т.е.

Р (X, о) = (ро/а) j I; ехр (- V (;с + 2Ln)) - J ехр (- v (2L {п +

[ л=0 п=0

+ 1)-х))\. (И.91)

Производя почленное обращение ряда (П.91), с помощью формул обращения, выведенных, например, в [25], имеем

Р (х, t)P° {"fc [(2Jn + x)l2 VVt] - erfc [(2L (n + 1) -

~x)/2y7t]}. (11.92)

Ряд (11.92) сходится при всех / и х. Рассмотрим вначале асимптотику при условии L2/x/>l. Тогда в выражении для Р(х, t) можно все значения erfc заменить их предельными erfc(oo) = 0,

за исключением члена ряда erfc . . Имеем

Р(л;, /) =/70егк[л:/2]/]. (П.93)

Пслученнсе решение (П.£3) ккеет лвсякий скысл. С одной стс-роны, око опксыЕает ргспределение /авхения в пласте конечнгй длиЕЫ L при махых временах y.t<l?. С другой стороны, оно дгет распределение давления в пласте бесконечной протяженности

оо. Любое конечное изменение давления распространяется за заданное время лишь на конечное расстояние и, если рассматриваются ма/ые времена, мсжно считать пласт бесконечным. Решение (И.93) автомодельно: независимые переменные л; и / входят в него

лишь в комбингции xlYt.

В силу линейности уравнения (11.86) решение для случая произвольного вида функции Р(0, t) = f (t) можно получить с помощью принципа суперпозиции с использованием интеграла Дюамеля

Р{х, t) = \ (df{x)/dz)Pi (X, t-z)dz, (11.94)

где Pi{x, /) -решение (11.92) или (П.93) для случая скачкообразного изменения давления при х = 0.

Рассмотрим теперь противоположную асимптотику tL/%. В этом случае выражение (П.92) неудобно тем, что приходится суммировать много членов ряда. Чтобы получить решение в более удобном виде, можно воспользоваться так называемой второй теоремой разложения для преобразования Лапласа [25], согласно которой регулярная функция F (а), стремящаяся к нулю при а оо, является преобразованием Лапласа функции

Ф{t) = ZЯes[F(o)e% (П.95)

где сумма вычетов берется по всем особым точкам функции F (а) в порядке неубывания их модулей. Тогда для F (а), выражаемого формулой (11.90), получим разложение

Pi (х, t) = р« (1 - xlL) - 2p0/u- sin [7t (1 - xlL)] ехр (- :4tlU) -f

-fO[exp(-(4 -£)u2x L2)]. (П.96)

Из формулы (П. 96) видно, что приближение к стационарному линейному распределению давления происходит экспоненциально, причем характерное время выхода на стационарный режим имеет порядок

T;L2x-ir-2. (П.97)

Для типичных условий фильтрации маловязкой нефти или воды в коллекторах с высокой проницаемостью х имеет порядок