Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 [ 6 ] 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

2. Условие заданного постоянного напора. Пример его - условия на стенке скважины (поскольку предполагается, что скважина полностью заполнена жидкостью):

f = <Рс = const; г = Гс. (П.5)

В ряде случаев оказывается более удобным задавать на скважине значение расхода, что (ввиду малости радиуса скважины Гс) эквивалентно заданию постоянной по периметру скважины нормальной составляющей скорости фильтрации жидкости через стенку скважины.

Реальные скважины не представляют собой идеальной цилиндрической поверхности, пересекающей пласт по всей его толщине. Часто вскрывается лишь часть толщины пласта (в этом случае скважины называются несовершенными по степени вскрытия). При этом граничные условия следует задавать на некотором фиктивном контуре, радиус которого (приведенный радиус) может быть значительно меньше истинного радиуса скважины.

Если скважина обсажена стальной или пластмассовой трубой, открытой для потока лишь в ряде перфорационных отверстий, то она называется несовершенной по характеру вскрытия. Для задания граничных условий на контуре такой скважины также приходится рассматривать условную скважину с приведенным радиусом, меньшим истинного. Наоборот, если вскрывается пласт, подвергшийся гидравлическому разрыву, то приведенный радиус становится большим истинного.

Иногда условие постоянного напора задается на так называемых дренажных галереях, т. е. поверхностях, перпендикулярных к направлению напластования, через которые жидкость отбирается из пласта или закачивается в него. Понятие дренажной галереи заимствовано из гидротехнических задач фильтрации. Применительно к напорному течению воды, нефти и газа в природных пластах дренажная галерея является условной схематизацией ряда (цепочки) скважин, обычно расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга по прямому, круговому нли иному контуру. Некоторые соображения относительно возможности такой схематизации будут приведены ниже. Кроме дренажных галерей поверхностями постоянного напора моделируются в задачах фильтрации трещины, заполненные жидкостью.

Граничные условия постоянства напора ставятся и на контурах питания. Под контуром питания обычно понимается внешняя граница области фильтрации, через которую проникает жидкость. На этом контуре давление можно считать неизменным. С известным приближением понятие контура питания применимо к случаю, когда пласт имеет выход в какой-либо водоем - водохранилище, реку, море. Для нефтеносных пластов в качестве контура питания часто принимается граница внешней водоносной зоны с нефтеносной - водонефтяной контакт. Такая схематизация обоснована в случае, если проводимость водоносной зоны

много больше, чем нефтяной. В качестве контура питания в стационарном течении может также быть принята произвольная эквипотенциальная поверхность. Обычно положение контура питания по геологическим данным известно лишь грубо приближенно. Однако из дальнейшего будет видно, что для области со скважинами даже значительные ошибки в определении положения контура питания несущественно влияют на величину притока.

Условие третьего рода - связь давления на границе с нормальной составляющей градиента давления. Пусть, например, два высокопроницаемых пласта разделены слоем очень низкой проницаемости, и пусть при этом перепады давлений в проницаемых пластах по обе стороны границы и вдоль пласта одного порядка. Тогда, как нетрудно убедиться, составляющая скорости течения в проницаемых пластах вдоль напластования много больше поперечной составляющей. В малопроницаемом слое, наоборот, скорость будет направлена практически по нормали к границе, так как продольная составляющая градиента давления много меньше поперечной. Если давления в пластах по обе стороны границы равны р\ и р2, то скорость перетока жидкости из первого пласта во второй приближенно составит

W ={k*li,b){pi~p2), (П.6)

где yfe* - проницаемость прослоя; 8 -его толщина. Поскольку значение W равно нормальной составляющей скорости фильтрации во втором пласте, то можно записать

(кЩ (Pi ~ р2) = -k2dp2ldn. (11.7)

Если давление в первом пласте меняется мало, то во втором на малопроницаемой границе получаем условие третьего рода:

ар2 + Ьдр21дп = с, a + b>0, Ь/а>0, (П.8)

где а, 6 и с - постоянные.

Простейшим из фильтрационных течений является плоскопараллельный прямолинейный поток между двумя галереями с постоянным напором на каждой из них. Пусть течение направлено вдоль оси X, составляющей угол а к горизонту.

В этом случае потенциал <f и давление распределены по пласту линейно; при л; =0 (верхняя галерея) р = р\, при л; = L (нижняя галерея) р = р2- Тогда легко получить

{p\-p)l(P\-pi) = хЩ 9 = (й/х) [рх - {рх -р2) (x/L) + psin а],

(П.9)

u = -d<f/dx={k/i)[{pi-p2)/L - pgsma]. (П.10)

Соотношение (11.10) - интегральная форма записи закона Дарси. Оно используется в большинстве методов лабораторного измерения проницаемости.

Среди одномерных фильтрационных движений жидкости представляет интерес течение, происходящее в вертикальном направ-

лении под действием одной лишь силы тяжести, оно описывается следующим из (11.10) соотношением =/72, * =

u = -kpgl)>.. (И. 11)

Заметим, что в этом случае давление постоянно во всех точках потока.

Для широкого круга задач фильтрации в водоносных и нефтеносных пластах можно использовать двумерное приближение. Пусть кровля и подошва пласта горизонтальны, а скважины и контуры питания можно считать вертикальными поверхностями постоянного напора. Тогда, очевидно, напор во всех точках пласта не будет зависеть от вертикальной координаты, а направление потока будет горизонтальным. Эти условия сохраняются и для пласта, состоящего из ряда горизонтальных слоев разной проницаемости (но не зависящей от координат в горизонтальной плоскости). При этом напор во всех слоях вдоль вертикальной координаты будет одинаковым и, хотя горизонтальные составляющие скорости различны по слоям, вертикальные равны нулю. В этом случае движение с осредненной по толщине скоростью потока точно описывается двумерными уравнениями фильтрации. Как двумерное может рассматриваться и течение в наклонных пластах малой толщины.

В плоском стационарном потоке компоненты скорости и ф удовлетворяют системе уравнений закона Дарси и неразрывности:

и = -d<fldx, V = -d<fldy, duldx -f dvldy = 0. (11.12)

Из последнего уравнения следует, что существует функция тока tj) {х, у), такая, что

и = д/ду, v = -difldx. (11.13)

Функции If и ф удовлетворяют соотношениям Коши - Римана -df/dx = d</dy, df/dy=d/dx. (II. 14)

Это означает, что комплексный потенциал = ср -f 1ф является аналитической функцией комплексной переменной z = х + iy. Производная dWidz (комплексная скорость)

dWIdzu - iv. (II. 15)

Введение комплексного потенциала позволяет решать большое число плоских задач теории фильтрации методами, основанными на теории функций комплексного переменного. Детальное изложение соответствующих методов можно найти в книгах [33, 34]. Напомним простейшие примеры, иллюстрирующие характерные черты плоских установившихся фильтрационных течений в пластах. Некоторые более общие свойства фильтрационных течений будут рассмотрены в следующем параграфе.

Комплексный потенциал плоскопараллельного прямолинейного течения с постоянной скоростью описывается формулой