Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 [ 43 ] 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

касания прямой АВ, проведенной из точки s = So, к кривой F{s) (рис. 39). При этом тангенс угла наклона прямой АВ к оси s пропорционален скорости скачка.

Если начальная насыщенность Sq постоянна, а во входном сечении х = 0 выполняется условие s(0, t) = s*, то распределение насыщенности описывается классическим решением Баклея - Леверетта

X = UF{s)/m, (s* > S > Sc), X = UF{Sc)/m, (So < s < s,),

s = So при mx/U > Fisc), (IV.46)

в котором насыщенность на скачке постоянна и удовлетворяет условию (IV.45) при So == const (рис. 40).

Выше рассмотрены задачи о вытеснении для плоскопараллельного одномерного течения. Однако нетрудно показать, что решения (IV.4I) и (IV.46) описывают также плоско-радиальное и сферически-радиальное течение лишь с заменой координаты х на и г/3 соответственно. Для стационарного цилиндрического или сферического скачка остается справедливым и условие Баклея - Леверетта (IV.45)

Для общего пространственного движения выражение (IV.38) можно использовать для описания эволюции поверхности скачка {х, у, 2, /), поскольку

Vnc = (дстЦдудп). (IV.47)

Пусть в некоторый начальный момент вдоль поверхности скачка насьшенность постоянна и выполняется условие (IV.45). Пусть, кроме того, везде за скачком (т. е. со стороны контуров нагнетания) S > Sc, F{s) < F{Sc), т. е. насыщенности за скачком в его окрестности не «обгоняют» насыщенность на скачке в соответствии с условиями fIV.32) и (IV.33), а насыщенность so постоянна. Тогда, очевидно, скачок и изосата s = Sc будут распространяться совместно, т. е. условие (IV.45) будет выполняться в течение конечного промежутка времени. В частности, если начальная насыщенность постоянна,

РИС. 39. К графическому построению решения Баклея - Леверетта на плоскости s, F; Ф5Н;ция/(8) та же, что на рис. 37.

РИС. 40. Распределение насыщен, ности при автомодельном решении задачи Баклея - Леверетта;

1 - для проницаемостей, показан ных на рнс. 37; 2 - для прямолинейных относительных проницаемостей (10 = 0,5)

0.5 itVci

а на нагнетательных скважинах равна s*, то в окрестности скважин в начале вытеснения осуществляется решение Баклея - Леверетта для плоско-радиального течения. В таком случае на образующихся скачках (фронтах вытеснения) насыщенность определяется по соотношению (IV.45) и в дальнейшем при искривлении поверхности скачка продолжает оставаться постоянной и равной Sc. Выполнимость условия Баклея - Леверетта в общем случае плоского вытеснения была отмечена Г. П. Цыбульским.

Частные случаи. Рассмотрим некоторые частные случаи одномерной задачи вытеснения и следствия из формул Баклея - Леверетта.

Образование скачков насыщенности связано с существованием интервалов изменения s, на которых функция F(s) имеет вогнутую форму. В зависимости от вида кривых относительной проницаемости и отношения вязкостей возможно как отсутствие таких интервалов и, следовательно, скачков насыщенности, так и образование нескольких скачков. Рассмотрим случай, когда относительные проницаемости могут считаться пропорциональными соответствующим насыщенностям, т. е. fi = s, /2=! -s. Такими функциями можно описать совместное течение взаимно смешивающихся жидкостей, когда распределение фаз в порах полностью случайно и не связано с капиллярными силами, причем каждая из фаз сохраняет подвижность при любой насыщенности. Тогда

Щ = s/Iio + (1 - iJo) s], F(s) = !Xo/[uo + (1 - \>-o) s]2,

F(s) = - 20 (1 - Ы I [p-o + (1 - Ы s]. (IV.48)

Из (IV.48) следует, что функция f(s) сохраняет знак при любых S, причем, если j.o < 1, то f"(s) < О, и обратно: если 1о>Ь то f"(s)>0. В первом из этих случаев по формуле (IV.37) получаем непрерывную монотонно убывающую зависимость s(x) при любом t. Вид решения Баклея - Леверетта при условии, что функция F{s) выражается формулой (IV.48) и jj.0 = 0,5, показан на рис.40 вместе с решением Баклея - Леверетта для обычных функций относительной проницаемости. Если цоО, производная F"{s) нигде не отрицательна. Вследствие этого непрерывное решение, соответствующее (IV.37), не существует. Решение со скачком соответствует предельному случаю «поршневого» вытеснения:

s=\(x< Urn); s = So(X > Urn). (IV.49)

Физически это означает, что если вязкость вытесняющей фазы больше, чем вытесняемой, процесс вытеснения имеет поршневой характер. Если же больше вязкость вытесняемой фазы, фронт вытеснения «размывается». Качественное различие вида решения при значениях параметра jio, больших и меньших единицы, связано с вопросом об устойчивости фронта вытеснения, рассматриваемым в § 5 настоящей главы. Решения уравнения (IV.40) с функцией f(s) вида (IV.48) рассматривались А. М. Пирвердяном в связи с задачей о перемещении водонефтяного контакта.

Одной из практически важных характеристик вытеснения нефти водой является коэффициент нефтеотдачи, т. е. доля вытесненной нефти от первоначального ее содержания в пористой среде. Из автомодельных решений вида (IV.46) можно получить простые соотношения, позволяющие оценить зависимость коэффициента нефтеотдачи от объема прокачанной жидкости и отношения вязкостей фаз. Пусть вытеснение происходит из элемента трубки тока между сечениями X =0 и х = L при s(x, 0) = So = const. Поскольку условия в выходном сечении л = L не влияют на решение задачи Баклея - Леверетта, формулы (IV.46) справедливы для образца конечной длины L, причем насыщенность в выходном сечении находится по формулам (IV.42) или (IV.46) как s{L, t).

Пусть насыщенность в выходном сечении х = L, Sl равна или больше насыщенности на скачке Sc, определяемой формулой (IV.45), т. е. рассматриваются моменты времени после прорыва вытесняющей жидкости через выходное сечение. Для насыщенности при х = L, s = Sl выполняется равенство

F(sl) = L/Um. (IV. 50)

Средняя насыщенность в рассматриваемом участке с учетом (IV.46) равна

S = sdx = (F(sO)- sFis) ds = st+(l~ F{s)) /F{sl) -

0 s*

- s*F{s*)/F(sl). (IV.51)

Обычно вид функций /i (s) и /г (s) таков, что /г (s*) = О и /1 (s,) = О, откуда и F(s*) = 0. Тогда, по Уэлджу, связь между s и Si примет вид = Si + (I - F (St)) /F(sl). (IV.52)

Отсюда следует, что при заданном sl значение s можно найти с помощью простого построения на плоскости F, s, указанного на рис. 39. В частности, средняя насыщенность при прорыве вытесняющей фазы находится на пересечении касательной к F(s) из точки So, F{so) (дающей значение Sc) с прямой f = I. Зная s, нетрудно найти коэффициент нефтеотдачи -ц и обратно:

7, = (F- so)/(l - So); 1= (1 - so) 7j -f So. (IV.53)

Кроме определения коэффициента нефтеотдачи, формулы (IV.51) и (IV.52) можно использовать для нахождения вида функции F (s) по экспериментальным данным, полученным при вытеснении нефти водой. Измеряя расходы нефти и воды 2 и в каждый момент времени, можно найти по ним текущее значение функции F, соответствующее насыщенности в выходном сечении Sl: F{sl) = qi/(qi + qi). Далее, по текущей нефтеотдаче можно найти значение s в любой момент времени. После этого значение s, соответствующее данному F, можно определить по формуле (IV.51) с учетом (IV.50):

SL=~s-Um{l-F)/L. (IV.54)

На основе автомодельного решения Баклея-Леверетта, Д.А.Эфрос [48] и ряд других исследователей предложили формулы, позво-