Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 [ 45 ] 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

Леверетта они связаны соотношением (IV. 45). Скорость распространения поверхности разрыва V° в равенстве (IV.67), определяется формулой ( V.38).

Используя (IV.67), получим вместо (IV.66) уравнение

- mV°ds/d+ (oF {s)ds/dQ - mdlФ(s)dsm/d: = 0. (IV.69)

Интегрируя уравнение (IV.69) по С с учетом условий (IV.68) и разрешая относительно dids, имеем

d;/ds = тФ (S) / [ш (F (s) - F (so)) - mV° (s - So)]. (IV.70)

Отсюда с учетом формулы (IV.38) для скорости скачка V

m(s-io)

Ф (s) ds

J [F (s) - F (So)] (s, - So) - [F {sy - F (So)] (s - So),

(IV.7I)

где Sl (So < Sl < Sc) и Ci - произвольно выбираемое начало отсчета координат. Если скачок стационарный и выполняется условие (IV.45), то вместо (IV.71) имеем

т [ Ф (S) ds

] F(s)-F{So)-F(s)(s-

{c) (s-so)

(IV.72)

Формула (IV.72) описывает распределение насыщенности в переходной зоне (рис. 43), которая ввиду стационарного распределения в ней насыщенности традиционно называется стабилизированной зоной. Ширина стабилизированной зоны о определяется как расстояние между точками, насыщенности в которых отличаются от предельных Sc н So на некоторую малую величину а, т. е. как

8 = C(so + a)-C(s, -0°).

В размерных переменных ширина стабилизированной зоны /8 =аЧ/ио, т. е. обратно пропорциональна скорости фильтрации или скорости скачка.

Знаменатель подынтегрального выражения в (IV.71) порядка /4(5 -Sc), а в (IV.72) порядка At{s~Sc), числитель же остается

конечным при s Sc. Поэтому при С- со имеем в первом случае sSc -Ci ехр (С/В), С, - С В 1п (Sc - S), (IV.73) а во втором

SSc-f Сз/С, C = C2/(S -Sc).

(IV.74)

При sso, т.е. C-fco, знаменатель подынтегрального выражения в (IV.71) и (IV.72) имеет порядок S - So. Поэтому, если F (s) и F (s) -0:5 ~~i конечны при S =So, то имеем

РИС. 43. Распределение насыщенности в стабилизированной зоне

-1.0

C-Ci C3ln(s-so). (IV.75)

Если F (so) - О, TO so<s,. Это означает, что вытесняющая фаза при С -> + со находится в несвязном состоянии. Рассмотрим вначале случай So = s*. Тогда, учитывая, что Ф(s)=-/2(s)f (s)/(s) и что при S, близких к s, F (s) f\(s) X {s-sy, где p > 1, характер функции С (s) будет зависеть от сходимости интеграла

I (si) = ] (s~sj-4is)ds. (IV.76)

Если интеграл (IV.76) сходится, то s обращается в при конечном значении С, если же расходится, то у кривой s(C) имеется горизонтальная асимптота. Как уже отмечалось в § I данной главы, капиллярное давление и функция Леверетта J (s) должны быть конечными при «неподвижной» насыщенности s,, поэтому сходится интеграл J(s)ds и тем более интеграл (IV.76). Расходимость интеграла (IV.76) может быть лишь следствием неудачной аппроксимации эмпирических функций относительной проницаемости и функции Леверетта. Cic ддимость интеграла (IV.76) при sозначает, что равенство s = достигается при конечном значении координаты С = С, и при всех С > С, S остается постоянным и равным s,, т. е. существует выраженный фронт вытеснения.

Если же насыщенность So при с->+оо меньше s,, то для всех S в интервале So < s < С = const, т. е. насыщенность от Sq до меняется скачком. Всзникновение скачка в решении задачи о вытеснении с учетом капиллярных сил связано с допущением, что при насыщенностях, меньших So, вся вытесняющая фаза находится в несвязном состоянии. По-видимому, на самом деле часть этой фазы вблизи фронта становится подвижной и при насыщенностях, мень-ши X, чем и вблизи скачка имеется зона, где происходит обмен между связной и несвязной частями вытесняющей фазы.

Как было сказано, протяженность стабилизированной зоны обратно пропорциональна a/uo, т. е. при использовании одной и той же среды и жидкостей обратно пропорциональна скорости вытеснения. Экспериментальная проверка этой зависимости проведена В. Н. Мартосом и В. М. Рыжиком. В экспериментах воздух вытеснялся водой при атмосферном давлении на выходе с постоянной скоростью из горизонтальных труб длиной 170 см, заполненных кварцевым песком с проницаемостью 10 мкм и пористостью 0,40. Начальная (неподвижная) водонасыщенность равнялась 0,21. Распределение водонасыщенности по длине модели измерялось методом электросопротивления. Скорость вытеснения Ыо менялась в пределах 1,1 • 10~ - 2 • 10- м/с. Во всех экспериментах и:менение водонасыщенности со временем в различных точках по длине модели практически повторялось со сдвигом, обратно пропорциональным скорости вытеснения, т. е. образовывалась стабилизированная зона.

Тротяженность стабилизированной зоны d условно определялась как расстояние между точками с насыщенностями 0,40 и 0,80. Из рис. 44 видно, что при малых скоростях (У- > 2 • Ю"* с/м) d при-

близительно пропорционально V-, как и следует из вышеуказанной теории. Однако при значении У~ около 1 • Ю"* с/м d(V~) имеет минимум, а при меньших значениях снова наблюдается рост стабилизированной зоны. По-видимому, увеличение d связано с неравновесностью вытеснения, т. е. с запаздыванием перераспределения фаз в порах (см. § 4 данной главы).

Существование минимума на кривой (У"~) согласуется с обнаруженным ранее В. Г. Оганджанянцем наличием максимума на кривой зависимости нефтеотдачи при прорыве воды от скорости вытеснения.

Область применимости уравнения Рапопорта - Лиса ограничивается в описанных экспериментах скоростями менее 5 • 10- м/с или значениями безразмерного параметра Nc

Nc= <0,7 10-6.

Такое критическое значение N на несколько порядков ниже критических значений N, необходимых для движения в порах изолированных капель, размер которых сравним с размером пор (см. § 1 данной главы). Как и аналогичный результат Д. А. Эфроса и В. П. Оноприенко о влиянии параметра Мс = П1 на нефтеотдачу, это означает, что характерные размеры систем поровых каналов, занятых каждой из фаз, и изолированных скоплений каждой фазы намного больше характерных размеров пор. Соответственно могут быть значительными и характерные времена перестройки потока под действием капиллярных сил. Возникающие при такой перестройке неравновесные явления в ходе вытеснения несмешивающихся жидкостей изучаются в § 4 настоящей главы.

Граничные условия и концевые эффекты. Рассмотрим задачу о вытеснении несмешивающихся жидкостей из образца длины L с учетом капиллярных сил в одномерной постановке, т. е. на основе уравнения Рапопорта - Лиса (IV.66), которое запишем в размерных переменных:

dsldt + (uoF (s) Im) dsldx - адЩ (s) Idx = 0, (IV .77)

РИС. 44. Экспериментальная зависимость длины стабилизированной зоны от обратной скорости вытеснения

РИС. 45. Функция Ф (s)

0,02

0.01