Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [ 17 ] 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

Линиями равных напоров будут линии x = const, параллельные границе пласта. Таким образом, напор h{x, -решение уравнения

fa-; a = -f = / (11.149)

При условии (11.148).

Напор в некоторой точке пласта h зависит от координаты х, времени от начала процесса /-to, коэффициентов а и а и константы а. Так как уравнение (11.149) однородно по времени, напор будет зависеть только от разности t-to, а не от значений t и to в отдельности. Вводя для удобства независимую размерность напора (это возможно, так как для рассматриваемой задачи несущественно, что размерности длины и напора одинаковы) получим размерности этих аргументов в следующем виде:

[а] = [ftJ-LT-i, [t-to] = Т, [X] = L, [а] = [h] Т-\ (11.150)

где [h], L и Т - соответственно размерности напора, длины и времени; а - безразмерная константа. Из аргументов, от которых зависит напор жидкости, можно составить только две независимые безразмерные комбинации

Используя анализ размерностей, выражение для напора можно представить в виде произведения комбинации определяющих параметров, имеющей размерность напора (в качестве нее можно взять a{t - toY), на безразмерную функцию от безразмерных комбинаций (11.151). Имеем, таким образом,

h = a{t-torfil, 1); Х=а/(1 + а), (П.152)

где / - безразмерная функция. Параметр \ введен вместо параметра а для удобства последующего изложения. Очевидно, что а лежит в интервале - 1 < Х < 1. Имеем далее

* = а8(/ -/о)»-7(. X) - а(/ -torxia+\)x

Подставляя эти соотношения в уравнение (11.149) и условия (11.148) и упрощая, получаем для функции f обыкновенное дифференциальное уравнение

с условиями /(О, \) = 1, /(оо, Х) = 0. (11.154)

Действительно, в данном случае можно было бы вместо напора h ввести пропорциональное ему давление у подошвы пласта hpg, что не отразилось бы на остальных выкладках.

Напор и объемный поток (расход) грунтовых вод должны быть непрерывными функциями х и t. Используя закон Дарси, имеем для расхода, приходящегося на единицу ширины пласта, выражение

Таким образом, из требования непрерывности расхода следует непрерывность функции dfjdl.

1ри непрерывной /($) и [фО требование непрерывности функции dP/d - 2fdfld\ совпадает с требованием непрерывности производной f {\). Однако при / = 0 из непрерывности dfjdl непрерывность f {I) не вытекает. Напротив, как будет видно далее, искомая функция f{, \) имеет в точке, где f обращается в нуль, разрыв первой производной.

Второе условие (П. 154) удобнее привести к другому виду. Умножим обе части основного уравнения (11.149) на х и проинтегрируем по X от нуля до бесконечности. В результате получим

Ь- = Ь(- t)dx = a]xdx = о о о

-a(x)J+a[/i40, t)-hco, 0-aft2(0, /).

(Очевидно, что dhldx стремится к нулю при х со быстрее, чем л:-, в противном случае f не стремилось бы к нулю при оо).

Интегрируя в пределах от / = /о до t при граничном условии (11.148), представив решение в форме (11.152), имеем

xh{x, i)dx= Y-I •) =

= a ft4o, t)dt== "° lo;-

(напомним, что a считается удовлетворяющим неравенству -1/2 < < а < оо), откуда получаем искомое условие в форме

р/(, X)d==. (11.156)

В интересующей нас области и изменения а и X правая часть (11.156) конечна и положительна.

Итак, рассматриваемая задача свелась к отысканию решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка (11.153) при условиях (11.154) и (11.156), непрерывного и имеющего непрерывную производную от квадрата. Уравнение (11.153) инвариантно относительно группы преобразований

ф( (.) = (.-2/(н., I), (11.157)

т.е. если f{, I) удовлетворяет уравнению (11.153), то и ф( j.) удовлетворяет этому уравнению при произвольном положительном

РИС. 9. К нсследова-кню уравнения (П. 159)

РИС. 10. Интегррльные кривые уравнения (11.153)

fl, ЧТО дает возможность понизить его порядок. Полагая по общему правилу

/(=, = У -aInS, (f)=d?/d73 (П. 158)

и принимая ср за независимую переменную, получим для функции ф уравнение первого порядка:

d<}ldf = - [&р2 + Тч-ф + + 2- (1-1) <f + 4-ф]/-(.1). (И. 159)

Исследование этого уравнения показывает [1, 6], что его интегральные кривые разбиваются иа I и II классы (рис. 9). Ни одна из таких интегральных кривых не пересекает ось ф в конечной точке. Кривые I класса вблизи начала координат стремятся к совпадению с прямой линией ф = то? = -2<р (а-f 1)-; на кривых II класса при ?О ф оо. Лишь разделяющая этн два класса интегральная кривая сепаратриса пересекает ось ф в конечной точке. Соответственно этому интегральные кривые уравнения (11.153), удовлетворяющие условию /(0) = 1, располагаются, как покгзано на рис. 10. Кривые I класса при -v оо изменяются по закону / = D*- (D ф Q - константа, различная для различных кривых), причем ни одна из них ни в одной точке не пересекает оси абсцисс и, очевидно, не является искомой. Исключением является случай, когда а = О (рассматриваемый ниже), для которого все кривые I класса имеют горизонтальные асимптоты. На рис. 10 приведены зависимости f от ; при а > 0. Остальные интегральные кривые (кривые II класса) пересекают ось абсцисс в конечных точках, причем под прямым углом. Разделяющая эти два класса интегральная кривая приближается к оси абсцисс в точке ~о под острым углом V, О < V < тс/2.

Поскольку напор жидкости по физическим соображениям не может быть отрицательным ясно, что искомая функция / Ц, Я) должна каким-то образом комбинироваться из интегральных кривых уравнения (11.153) не принадлежащих к I классу, в той их части, где эти кривые располагаются над осью абсцисс, и из самой оси абсцисс. Однако, если составить функцию f (, Я) таким

Математически это является следствием того, что для уравнения (II.147) справедлив принцип максимума, в соответствии с которым решение не может оказаться отрицательным прн положительных начальном и граничном условиях.