Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 [ 3 ] 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

осреднения уравнений гидродинамики сводятся к вычислению проницаемости по задаваемой геометрической структуре пористой среды.

Чаще всего из формул этого типа используется уравнение Козени - Кармана, полученное на основе аналогии между пористой средой и системой параллельных трубок, выражающее проницаемость через удельную поверхность Ё и пористость т:

k = KmL-. (1.8)

Постоянная К определяется по опытным данным и оказывается разной для пористых сред различной структуры. Формулу (1.8) используют главным образом в расчетах фильтрационных сопротивлений искусственных пористых сред, применяемых в химических аппаратах, а также при определении удельной поверхности порошков.

До сих пор предполагалось, что пористая среда изотропна.Для природных пластов часто характерна анизотропия, связанная либо с естественной слоистостью (для осадочных пород), либо с развитием систем параллельных микротрещин, вызванных напряжениями в породе. Если пористая среда не изотропна, то в произвольной ортогональной декартовой системе координат Хи и хз компоненты вектора grado выражаются через компоненты ис вектора и следующим образом:

dpIdXc = -CiaUa, (1.9)

где сц - некоторый тензор (предполагается суммирование по всем значениям повторяющихся греческих индексов, так что CcUa означает Ciiui + C12U2 + С1зиз). В случае безынерционных движений компоненты тензора сц могут зависеть только от вязкости жидкости р. и тех или иных геометрических характеристик пористой среды.

Аналогично выводу формулы (1.9) можно показать, что с/= \).гс,; где Гц - тензор удельных фильтрационных сопротивлений, который зависит только от геометрических характеристик пористой среды. Компоненты его имеют размерность, обратную размерности площади. Выражая компоненты вектора скорости через компоненты вектора градиента давления, получаем

ui-= - (k{J)dpldx,, (1.10)

где kij - тензор проницаемости, обратный тензору nj, зависит только от геометрических характеристик пористой среды и имеет размерность площади. Зависимость (1.10) описывает закон Дарси для анизотропной пористой среды.

Тензоры сопротивлений гц и проницаемости k ,7 симметричны.

Если анизотропия пористой среды связана с естественной слоистостью, проницаемость вдоль слоев имеет одно значение, а в перпендикулярном направлении - другое, обычно значительно

Это следует из того, что квадратичная форма /-pUpU, пропорциональная Удельной работе сил взаимодействия жидкости с пористой средой, ие должна Зависеть от выбора системы координат.

меньшее. Поэтому одна из главных осей тензора проницаемости - Хз перпендикулярна плоскости напластования, а две другие - xi и Х2 можно выбрать произвольно в плоскости напластования. Система Х[, Х2, Хз будет главной в каждой точке пористой среды; при этом имеем

kuk22 = k; ks3 = ko\ k(i = О (ij). (I.И)

Закон Дарси в выбранной системе координат записывается в силу соотношений (1.11) следующим образом:

ui = - (k/ii) др/dxi; U2 = ~-{k/]).) др!дх2, из = - (kol) др/дхз.

При значительных скоростях, когда уже нельзя не учитывать инерционной составляющей сопротивления движению жидкости, предпосылки, заложенные при выводе закона Дарси, перестают быть справедливыми. К числу определяющих параметров следует добавить плотность р с размерностью ML~. Тогда коэффициент с в (1.2) будет зависеть уже от пяти величин, из которых можно образовать две безразмерные комбинации, что дает

gradp = -(fj./)agf(upd/fj,, m). (1-12)

Комбинация upd/[j, = Re представляет собой число Рейнольдса для фильтрационного микродвижения. Предполагая, что функция g-(Re) разлагается в степенной ряд, и ограничиваясь первыми двумя членами, получим уравнение двучленного закона фильтрации:

- (/fe/!j,)grad;0 = и + p/feV-рии. (1.13)

Здесь в качестве характерного размера d принята величина k и учтено, что при и-> О должен быть справедлив закон Дарси. Двучленный закон фильтрации впервые был предложен Форхгей-мером. Формула (1.13) хорошо описывает данные наблюдений даже для весьма больших значений чисел Рейнольдса. Так, для несцементированных (насыпных) пористых сред этот закон справедлив вплоть до чисел Рейнольдса порядка 10-100, тогда как отклонения от линейного закона начинаются при Re - 0,1-1,0. Неоднократно делались попытки выбрать характерный размер d таким образом, чтобы процесс фильтрации в пористых средах различной структуры описать единой формулой. Оказалось успешным введение в качестве характерного размера величины {k/tn), предложенное М. Д. Мил-лионщиковым. Тогда число Re оказывается равным pukWyi.

При этом удается единообразно описать закон фильтрации во многих средах различной проницаемости. Для несцементированных пористых сред коэффициенты двучленного закона фильтрации (1.13) .чюжно записать в виде

а = А (1 - т)Ы-ЧП, = B{\~m)m-VD.

Здесь D - средний размер зерен породы, А и В-значения коэффициентов, близкие к постоянным для отдельных групп несцементированных сред, но они зависят, например, от формы зерен.

Поэтому и такая форма записи двучленного закона не является универсальной.

Появление квадратичного члена в уравнении закона фильтрации до сих пор иногда объясняют турбулизацией течения. Однако порядок критических чисел Рейнольдса в теории фильтрации (0,1-10), рассчитанных по диаметру зерен или пористой среды, указывает на неправильность такого утверждения. Отсутствие турбулентности (т. е. флуктуации скорости во времени) доказано и прямыми экспериментами. Этот неправильный взгляд обусловлен тем, что в гидравлике круглых цилиндрических труб отклонение от линейной зависимости обязательно связано с турбулизацией потока, но это не так даже для ламинарного течения в криволинейных трубах.

В задачах теории фильтрации нефти и газа в природных пластах применение двучленного закона ограничено движением впри-скважинной зоне высокодебитных скважин и фильтрацией в трещиноватых средах. Кроме нарушений закона Дарси, связанных с проявлением инерционных сил, линейный закон фильтрации можот нарушаться при очень малых скоростях, когда проявляются аномальные реологические свойства движущихся жидкостей. Эти вопросы будут рассмотрены в гл. П1.

§ 4. Уравнение неразрывности

и основные уравнения теории фильтрации

Система уравнений общей гидродинамики состоит из уравнений сохранения массы, импульса и энергии и уравнений состояния. При движении жидкостей и газов в пористой среде уравнение сохранения импульса сводится к формуле закона фильтрации. Уравнение энергии существенно лишь в тех случаях, когда нельзя пренебрегать изменением температуры. В последующем, кроме специально оговоренных случаев, принимается условие постоянства температуры Г=const с учетом незначительности скоростей движения и высокой теплоемкости пород, окружающих проницаемые пласты. В связи с этим уравнения состояния сводятся к выражениям, связывающим при заданной температуре плотность жидкости и пористость среды с напряжениями в этой среде и давлением жидкости в порах. Запишем теперь уравнение неразрывности, выражающее условие сохранения массы жидкости при фильтрации.

Рассмотрим баланс массы жидкости в произвольном элементе объема пористой среды V, ограниченном поверхностью S, предполагая, что скоростью частиц твердого скелета можно пренебречь.

Приравнивая приращение массы жидкости в элементе V за время dt

rn,dV

dt (1.14)