Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 [ 2 ] 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

Обычно различают полную пористость, когда учитываются все поры, и активную, когда учитываются лишь те, которые входят в единую систему соединенных между собой пор и могут быть заполнены жидкостью извне. Для наших целей существенна, естественно, лишь активная пористость, поэтому в дальнейшем под пористостью понимается именно она. Наряду с пористостью т иногда вводится понятие просветности п - отношения площади активных пор в любом сечении, проходящем через данную точку, ко всей площади сечения. Легко убедиться, что в сделанных предположениях просветность в данной точке не зависит от выбора направления сечения и равна пористости т.

Пористость одинакова для геометрически подобных сред и не характеризует размеров пор. Поэтому для описания пористой среды необходимо также указать некоторый характерный размер порового пространства d. Имеется много по существу равноценных способов определения этого размера. Естественно, например, за характерный размер d принимать некоторое среднее значение радиуса порового канала / или отдельного зерна пористого скелета (понимаемые как средние значения соответствующих случайных величин).

Кривые распределения размеров пор или зерен содержат значительно больше информации о микроструктуре пористой среды, чем просто средние значения. Поэтому предпринимались многочисленные попытки определения всех геометрических и гидродинамических характеристик пористой среды на основе кривых распределения. Однако зависимости гидродинамических характеристик пористой среды от параметров кривых распределения не могут быть универсальными - одинаковыми для разных пород. Действительно, вводя, например, тонкие непроницаемые перегородки, можно коренным образом изменить гидродинамические характеристики среды, не изменив либо слабо изменив вид кривых распределения. В то же время для различных процессов существенны разные статистические характеристики размеров пор и зерен. Так, для процессов переноса в пористой среде существенна степень неоднородности составляющих пористой среды - пор и зерен. В этом случае наряду со средним значением размера существенна него дисперсия, характеризующая степень отклонения от среднего значения.

§ 3. Закон Дарси,

пределы его применимости и уточнения

Основная характеристика фильтрационного движения - вектор скорости фильтрации и - определяется следующим образом. Выберем точку М пористой среды и проведем через нее произвольную элементарную площалку Д5 с нормалью п. Через выделенную площадку в единицу времени протекает масса жидкости AQ. Тогда проекция вектора в на нормаль п к выделенной площадке равна пределу отношения Q/pS при Д5->0. Здесь р - плотность жидкости

Подчеркнем, что предел понимается в указанном выше «промежуточном» смысле и что масса жидкости делится на полную площадь S, а не на ее часть, занятую порами.

Основное соотношение теории фильтрации - закон фильтрации- устанавливает связь между вектором скорости фильтрации и тем полем давления, которое вызывает фильтрационное движение. Здесь и далее, если не оговаривается специально противное, под давлением понимается разность между полным давлением и гидростатическим; в отсутствие движения давление жидкости в порах распределено по гидростатическому закону. Как только начинается движение, избыточное (над гидростатическим) давление становится переменным по пространству. Движение жидкости в пористой среде отличается от движений, рассматриваемых в обычной гидродинамике, тем, что в любом макрообъеме имеется неподвижная твердая фаза, на границе с которой жидкость также неподвижна. Поэтому система поровых каналов элементарного макрообъема гидродинамически эквивалентна системе сложным образом связанных труб. Скорость фильтрации характеризует расход через эту систему. С другой стороны, расход определяется давлениями на входах и выходах поровых каналов. Поскольку расход представляет собой суммарную по многим поровым каналам величину, он определяется перепадом, т.е. градиентомосред-ненного давления жидкости.

Именно поэтому, в отличие от уравнений обычной гидродинамики, в теории фильтрации существует локальная зависимость м«жду градиентом давления и вектором скорости фильтрации.

Некоторые сведения о форме закона фильтрации, связывающего скорость фильтрации и градиент давления, можно получить, исходя из самых общих представлений. Пористая среда описывается геометрическими параметрами - характерным размером d и некоторыми безразмерными величинами: пористостью т, параметрами кривой распределения и др. Закон фильтрации должен следовать из уравнений движения жидкости в поровом пространстве, поэтому система определяющих величин включает также те характеристики жидкости, которые входят в эти уравнения: плотность р и вязкость р. Таким образом, мы ищем форму зависимости градиента давления grad р от вектора скорости фильтрации «, геометрических характеристик пористой среды т, d и т. д. и характеристик жидкости р и р. Среди величин, от которых зависит grad р, только скорость фильтрации и является вектором. В силу изотропии среды вектор grad р должен быть направлен по одной прямой с вектором ». В самом деле, пусть вектор grad р составляет отличный от нуля угол с направлением вектора». Если повернуть выбранную произвольную систему координат вокруг вектора » на некоторый угол, то ни этот вектор, ни какой-либо другой из определяющих параметров не изменятся. Следовательно, не должен измениться и вектор grad р. зависящий только от этих параметров. Но если grad р составляет отличный от нуля угол с направлением вектора и, то при повороте его направление

относительно координатных осей обязательно должно измениться. Отсюда вытекает, что направления векторов и и grad р должны совпадать, так что

gradp = -cu, (1.1)

где с-некоторая скалярная величина, зависящая от модуля вектора скорости и, а также величин d, т, р, jj,.

Рассмотрим фильтрационные движения, когда несущественны силы инерции. К числу подобных безынерционных движений принадлежит большинство фильтрационных течений, встречающихся на практике, поскольку они происходят медленно. При этом плотность р, характеризующая инерционные свойства жидкости, несущественна и исключается из числа определяющих параметров. Таким образом, при безынерционных движениях величина с зависит только от и, d, т и [I.. Выпишем размерности интересующих нас величин:

[т] = 1; [с] = ML-T-; [и] = LT-i; \d] = L; Ы = ML-T-K (1.3)

Из четырех определяющих параметров три {и, d и jj.) имеют независимые размерности. Тогда, согласно анализу размерностей, безразмерная комбинация cd/ji может зависеть только от единственной безразмерной величины среди определяющих параметров - пористости т:

cdl = f{m); c = d-f{m). (1.4)

После этого уравнение (1.2) можно представить в виде

grad 0 = -id-f (т)и; и = -(/[а) grad о; k= dV. (1.5)

Соотношение (1.5) описывает закон фильтрации Дарси (по имени французского инженера А. Дарси, установившего его экспериментально в 1856г.). Величина k называется проницаемостью (имеет размерность площади, не зависит от свойств жидкости и является чисто геометрической характеристикой пористой среды).

Если вместо р рассматривать истинное давление в жидкости Р = р - pgz, где g - ускорение свободного падения, z - высота рассматриваемой точки над некоторым расчетным уровнем, то (1.5) можно записать в виде

« = (/;,)grad(P+pgz). (1.6)

В гидротехнических расчетах обычно используется напор Н => = р/ pg, тогда имеем

и = -Cgrad, C = kpgl\x, (1.7)

где С - коэффициент фильтрации, имеет размерность скорости.

Как видно из приведенного вывода, закон Дарси - следствие предположения о безынерционности движения жидкости. Фильтрационное течение, подчиняющееся закону Дарси,-частный случай ползущего течения, для которого характерно преобладание вязких сил над инерционными (т, е. числа Рейнольдса очень малы- Re<l). Поэтому попытки вывода закона Дарси путем