Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 [ 35 ] 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

с размерностью давления или вязкости. Отсюда следует

Р*2Р? -Pi

= а-

(II 1.93)

где а - безразмерная постоянная, характеризующая геометрию среды. Соотношение (II 1.93) должно быть уточнено в случае, если плотность жидкости р и вязкость ее [а зависят от давления.

Например, при фильтрации термодинамически идеального газа имеем

где Ро - давление, отвечающее плотности ро.

Трещинная пористость mi обычно мала, и ею в большинстве случаев можно пренебречь, если среда трещиновато-пористая (но не чисто трещиноватая), а пористость блоков тг считать функцией обоих давлений pi и р2. Ограничиваясь линейным приближением, имеем соотношение

"" = m.o(p2.-fP22Y (III.95)

где величины P21, Р22 и то можно считать постоянными.

Изменение пористости т, как обычно, следует учитывать лишь в тех выражениях, где она дифференцируется. Кроме того, поскольку т входит в уравнения только в произведении с плотностью р, изменения пористости существенны лишь в случае слабосжимаемой (капельной) жидкости; при фильтрации газа ими можно пренебречь. Ограничиваясь случаем капельной жидкости, имеем

P = Poll+h(p-Po)], (III.96)

где р = ри р2 - в зависимости от того, рассматривается жидкость в трещинах или в блоках.

Подставляя выражения (III.90), (III.95) и (III.96) в (III.91) и (III.92) и полагая mj = О, имеем систему уравнений

Ро д I, «Ро2Р2-Pi

mopo

Ро д 1у "Р\\ «Ро2Р2-Pi

-P.i + (22-fWl + -4P = 0. (III.97)

Чаще всего рассматривается случай, когда среда однородна и изотропна, так что проницаемость выражается шаровым тензором kij = kibij. При этом система (III.97) принимает простой вид:

дпс. dp, 2

дГ-дГ -А{р2-рх) = 0, xvpi-(p2-pi) = 0, (III.98)

«*2 h . о h\

(Р22 + P.) (-/"о (Р22 + P.) Р22 +

Из системы (HI.98) можно исключить одно из давлений. Определив из второго уравнения р2 и подставив полученное значение в первое уравнение, имеем

др, avVi „2 . X k,li

-дГ-дГ ~Т Р- А{\-)- а*2(1-Р) (П1.99)

В пределе при ti->-0, что соответствует беспрепятственному обмену жидкостью между блоками и трещинами, уравнение (III.99) переходит в обычное уравнение упругого режима с коэффициентом пьезопроводности х/(1-р). Нетрудно видеть, что этот коэффициент пьезопроводности отвечает проницаемости системы трещин и пористости и сжимаемости блоков.

Особенности постановки задач фильтрации в трещиновато-пористых средах. Уравнение (III.99) и система (III.98) обладают рядом особенностей, которые на первый взгляд кажутся необычными и причина которых лежит в вырожденном характере рассматриваемой системы, относящейся к среде с пренебрежимо малыми трещинной пористостью и проницаемостью блоков. В связи с этим представляет интерес исследование свойств решений этой системы.

Заметим, что уравнению вида (И 1.99) удовлетворяет не только давление р\, но и давление р2 и, следовательно, любая их линейная комбинация. Чтобы убедиться в этом, достаточно второе уравнение (1П.99) умножить на Р/Л и продифференцировать по t, а затем прибавить к исходному уравнению. После этого из системы (HI.98) легко исключается р\. Это показывает, что обоим давлениям и любой их комбинации присущи те свойства, которыми должно обладать любое решение уравнения (HI.99). Вместе с тем, как нетрудно убедиться, не все эти линейные комбинации равноправны. Среди них есть одна, а именно р -р2 - Ррь которая должна быть непрерывной по времени в замкнутой области определения решения, включая и границу = 0. Действительно, пусть надо найти ограниченное решение системы уравнений (П1.98) в пространственной области D при О < < Т; заданы начальные распределения давлений р\ и Рг- Интегрируя первое уравнение (П1.98) по малому промежутку времени О < < е и устремляя s к нулю, находим

limp (л;, i) = p(x, 0). t->-o

Представим теперь второе уравнение системы (И 1.58) в виде: -Ар + (1 - Р) Лр, + X vPi = 0.

Если выбирать достаточно малые моменты времени, то первый член этого выражения будет стремиться к своему начальному значению р(х, 0). Следовательно, к такому же значению с обратным знаком будет стремиться и сумма двух других членов. Поэтому для того, чтобы давление pi (х, t) было непрерывным при О, необходимо, чтобы начальное распределение р\ {х, 0) удовлетворяло уравнению

xv>-f (l-P)Pi = Р( 0) (П1.100)

при соответствующих граничных условиях. В противном случае давление р\ {х, t) в трещинах при / = О скачкообразно изменяется в соответствии с уравнением (III.98). Если р О и поэтому р Рг, происходит также и мгновенное перераспределение давления в по-)ах р2 при неизменном р. Это имеет простой физический смысл, изменение давлений pi и р2 вызывает изменение массы жидкости, заполняющей пористые блоки, что приводит к перетоку некоторого количества жидкости из блоков в трещины или обратно. Если изменение массы жидкости конечно (не бесконечно мало), оно требует конечного времени, так как происходит под действием ограниченных сил давления, которые не могут вызвать бесконечно больших скоростей перетока. Это показывает, что мгновенное изменение массы, заключенной в блоках жидкости, невозможно, а следовательно, невозможно и мгновенное изменение приведенного давления р = = р2 -РРь однозначно связанного с этой массой. Если же pi и рг одновременно изменяются скачком таким образом, что приведенное давление р не меняется, то перемещения жидкости не происходит и такое согласованное мгновенное изменение давлений возможно. Если учесть также собственный объем трещин, то появится также и другая независимая комбинация давлений р, определяющая изменение эффективного объема трещин; давления р\ и р2 окажутся непрерывными при / = О, и необходимо будет задавать их начальные значения отдельно.

Другая особенность системы (III.98) заключается в том, что в ней исключен за малостью поток жидкости непосредственно по пористым блокам. Поэтому выравнивание разности поровых давлений между двумя соседними точками среды может происходить лишь посредством обмена жидкостью между блоками и трещинами и перемещения ее по трещинам. В результате в трещиновато-пористой среде, описываемой уравнениями (III.98), могут существовать разрывы непрерывности (скачки) норового давления, которые не исчезают мгновенно (как при упругом режиме), а затухают во времени по экспоненциальному закону. Чтобы убедиться в этом, установим условия на скачках для решений системы (III.98).

Рассмотрим изолированную поверхность разрыва Е. При выводе условий на скачках ее можно считать плоской и принять за плоскость X = 0.