Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 [ 28 ] 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

в частности, при фильтрации с предельным градиентом Ф (ш) = ш + X и степенном законе фильтрации Ф (w) = ш имеем, соответственно.

Я,-Я2 = 21п- +/.(г2-г,);

(II 1.43)

i - 1 V1

(III.44)

Если п <С /"2, последнюю формулу можно упростить, положив

РИС. 23. Обтекание фильтрационным потоком непроницаемой полупрямой

Я,-Я2=-

s>l; Я,-Я2 =

2тсг,

1 -S

s< 1. (III.45)

Таким образом, при подсчете дебита плоского фильтрационного потока со степенным законом фильтрации можно рассматривать задачи с контуром питания, унесенным в бесконечность при s>l или с нулевым радиусом источника (при s<l), что невозможно в случае линейного закона фильтрации и закона фильтрации с предельным градиентом.

Обратимся теперь к последующим членам разложения (III.34). Все они имеют однотипную структуру произведения

Р, (ш)з1п/е, (III.46)

убывающего на бесконечности решения уравнения (III.35) и гармонической функции угла.

Естественно поставить вопрос о том, какому течению соответствует такое произведение. Поскольку sin/6 обращается в нуль при 6 = 0 и 6 = т: = 00, часть оси Ох и прямой, составляющей с нею угол 00, образуют единую линию тока. Поэтому можно ожидать, что решение (II 1.46) соответствует внешнему обтеканию клина с углом при вершине ао = - во- Такая интерпретация справедлива при / > 1. Более детальный анализ подтверждает это допущение. Вблизи вершины клина скорость фильтрации обращается в бесконечность (это обычный формальный результат, связанный с предположением о бесконечной кривизне линий тока вблизи вершины угла). В частности, при =1 получаем решение задачи об обтекании непроницаемой полупрямой, т. е. бесконечно тонкого

клина (рис. 23). Соответствующее ему уравнение (III.35) принимает вид

(III.47)

Легко убедиться непосредственной проверкой, что решением

этого уравнения, удовлетворяющим условию убывания на бесконечности, является выражение

Pt{w)= 1/Ф(к/). (111.48)

Используя (HI.28) и (HI.29), найдем, что решение задачи об обтекании фильтрационным потоком непроницаемой полупрямой дается выражениями

x+iy = Q

с du 1 ,

J иЧ (и) 2Фш

2ie

Решение (И 1.49) обладает рядом примечательных особенностей. Прежде всего заметим, что г - {х + г/2)1/2 со при ш -> О и фиксированном 6, так что течением охвачена вся плоскость независимо от вида закона фильтрации.

В то же время при наличии предельного градиента давления Ф (0) = X > О при ш -> О функция тока ф (w, 0) ограничена значением QA и, следовательно, расход фильтрационного потока конечен. Если же X = О, то, так же, как и в соответствующей задаче линейной фильтрации, расход потока бесконечен. Другая интересная особенность найденного решения обнаруживается, если рассматривать плоскость хОу как вертикальную и вычислить изменение величины у вдоль линий тока ф = const. Согласно (П1.29) и (И 1.49) имеем

dy+-dH = dy--dH = 0,

так что вдоль линий тока

г/ -(/Q)W = const. (И 1.50)

Если взять ту линию тока, на которой ij = Q, то на ней будет постоянна величина Н - у. Заметим теперь, что если плоскость хОу - вертикальная с осью Оу, направленной вверх, то разность И - у будет пропорциональна гидростатическому давлению. Следовательно, найденное решение отвечает течению в вертикальной плоскости, для которого на одной из линий тока давление остается постоянным. Тогда, рассматривая лишь верхнюю полуплоскость у>0, можно взять эту линию тока за свободную поверхность и получить точное решение задачи безнапорной фильтрации при нелинейном законе сопротивления. Это решение, найденное Энгелун-дом, является обобщением классического решения Н. Е. Жуковского о безнапорном притоке к дренажной щели, расположенной иа водоупоре.

Рассмотрим асимптотику решений в области малых скоростей. Если в области фильтрации имеется точка (критическая точка) или застойная зона, в которой скорость фильтрации обращается в нуль, то эту критическую точку можно окружить замкнутой линией Гш, на которой модуль скорости фильтрации принимает постоянное значение ш и внутри которой нет других особых точек потока. Область jD„ между линией Гш и критической точкой (застойной зоной) на плоскости годографа отображается в полосу

Дш : о < ш < со, причем удобно считать ее бесконечной по 6 : - оэ< < О < со, поскольку при каждом обходе вокруг критической точки угол 6 получает приращение 2tzN. Целое число назовем кратностью критической точки (застойной зоны). На границе застойной зоны (в критической точке) функция тока принимает постоянное значение, которое можно принять за нуль. Таким образом, задача сводится к тому, чтобы в полосе найти решение уравнения (HI.30), обращающееся в нуль при ш = О, и периодическое по 6 с периодом 2tzN. Это решение имеет вид

ф {W, 6) = P7,N (w)

An sin дг + 5„ cos -jj

(1П.51)

Здесь Pr(w), обращающееся в нуль при ш=0, - решение уравнения (П1.35) с l = nfN; An и S„ - постоянные.

Соответствующие формулы для напора и координат имеют вид

. пе □ . пе Ancos- - S„sin jj-

+ const.

(П1.52)

dz = e« [-ф-idH + 1ш-ф).

Из выражений (HI.52) следует, что вид прообраза линии и) = О, - со < 6 < со на физической плоскости вполне определяется асимптотикой решений РГ М при wO.

Действительно, на границе застойной зоны имеем

dz = dx + idy = е = - <

4ini

4) db =

« S lim

1=1 да-о

Ф (w) \тФ{ю) dw

"„sin"i + BiCosade. (П1.53)

Из анализа решений Pi (w) несложно установить, что при />1 существует конечный предел

dPTiw)

Xi = lim

[И-►о

а)Ф (w) dw

(П1.54)

для любого вида закона фильтрации. При этом xi= О, если Ф (0) = О и X = О 6СЛИ Ф(0) = >, О, а если / < 1, конечный предел существует при фильтрации с предельным градиентом, для степенного же (или асимптотически степенного) закона фильтрации указанный предел равен бесконечности. Таким образом, можно сделать важный вывод о том, что в отсутствие предельного градиента давления в потоке могут существовать лишь изолированные критические точки, находящиеся в конечной части плоскости, если все Хг=0(/ >1), или в бесконечно удаленной точке, если найдется такое п, для которого / =njN=\. Иными словами, топологическая структура фильтрационного потока при отсутствии предельного градиента остается такой же, как и при линейном законе фильтрации.