Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 [ 44 ] 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

ляющие определить по данным вытеснения нефти водой в линейном образце не только функцию f(s), но и относительные проницаемости. Для линейного вытеснения после прорыва вытесняющей фазы перепад давления Др можно выразить формулой, следующей из (IV.41):

Др = lUoUmk- J f"(s)[/i (s) + Ms)]-ds. (IV.55)

Заменив в соотношении (IV.55) переменную s на F = dF/ds, получим

(Flh) dF = Др (0 kFt/m it) PiL, fl = F\sl). (IV.56)

Полагая kpuo{t) ]xiL = \l

и дифференцируя соотношение (IV.56) по U =mL/Ft, найдем для h (St):

и (St) = f/[П - V (dn/df/)]. (IV.57)

Bee величины, входящие в правую часть (IV.57), можно вычислить по результатам измерений интегральных характеристик процесса вытеснения и перепада давления.

Схемой Баклея-Леверетта можно описать также одномерное двухфазное течение с учетом силы тяжести. В крупномасштабном приближении, т. е. в области, где можно пренебречь влиянием капиллярных сил, выражение закона фильтрации двухфазной жидкости с учетом силы тяжести имеет вид:

и\ =~{kfi {s)/i4)d{p+ pigsmaydx, «2 = - {kfz (s) / i2) d{p + p2g sin a.)/dx. (I V.58)

При этом ось X направлена вверх, О < а <

Уравнения неразрывности сохраняют для прямолинейного течения вид

mds/dt + дщ/дх = 0, ы, + = u (t). (IV.59)

Простые преобразования приводят к одному уравнению для s, если u{t) задано:

mds/dt + udF {s)/dx - Wd [/2 (s) F (s)] /дх = 0, (IV.eO)

где IF = (kgli>.2) (pi - p2) sin a,

"1 = UF(s)-Wf2 (s)f (s).

Решение уравнения (IV.60) определяется интегрированием системы уравнений характеристик

dx/dt = u(t)F(s)-Wdf2F/ds; s = const. (IV.61)

Если характеристики, определяемые уравнениями (IV.61), пересекаются на плоскости х, t, для отыскания решения, имеющего физический смысл, нужно вводить скачки насыщенности. Условия

на скачках снова выражаются формулами (IV.36) и (IV.38), где вместо F (s) следует подставить функцию Ф (s, t) = uF - WfF.

Особый интерес представляет течение при условии и (t) = О, что соответствует разделению фаз под действием силы тяжести (гравитационная сегрегация). Если пласт неограничен по толщине, а жидкости вначале разделены резкой горизонтальной границей, причем более тяжелая жидкость находится сверху, т.е. s = I при х > О, s = О при х<0, решение уравнения (IV.60) при ы = О может быть записано в виде

i = xm/Wt = -d ifiF) Ids. (IV.62)

Функция ф(5) -fiF, типичный вид которой изображен на рис. 41, имеет две точки перегиба, что вызывает возникновение двух скачков, на которых должно выполняться условие

dxjdt = = [ф {Sc) - ф (so)] / (s, - So). (I V.63)

Для стационарного скачка должно выполняться условие, аналогичное (IV. 19):

ф (S,) = [ф (S,) - ф (So)] / (S. - So). (IV.64)

Согласно этому условию, насыщенности Sc\ и Sc2 находятся с помощью графического построения на плоскости ф, s, показанного на рис. 41. Соответствующая картина распространения скачков на плоскости S, I показана на рис. 42.

Предлагаем читателю самостоятельно исследовать движение, возникающее, когда при всех х>0 s(0, /) = Si = const, s* < Si < s*, граница x = 0 непроницаема, что соответствует сегрегации равномерно распределенных фаз.

§ 3. Структура течения при мелкомасштабном описании. Стабилизированная зона. Капиллярные эффекты в пористых средах.

Стабилизированная зона. При крупномасштабном асимптотическом описании вытеснения несмешивающихся жидкостей воз-

0.02

РИС. 41. К построению решения задачи о гравитационной сегрегации на плоскости ф (s): /1 = S*; = (1 + S) X X (1 ~sf; fXo= I, 0

РИС. 42. Распределение насыщенности для автомодельного решения задачи о гравитационной сегрегации

никают поверхности разрыва-скачки насыщенности. При решении полной системы уравнений (IV. 19) и (IV.20) им соответствуют узкие зоны с большими значениями grads). Для описания распределения насыщенности в переходной зоне, соответствующей скачку, введем в окрестности некоторой точки О поверхности разрыва насыщенности локальную декартову систему координат с центром в этой точке. Ось X направим по нормали к поверхности разрыва и введем вдоль этой оси масштаб / = eL, где, как и ранее, е = a/uoL (ыо = kpl]\L), т. е. полежим безразмерную координату X равной x/l, сохранив Y = y/L, Z = z/L. Масштаб времени примем равным io = l/uo = a/ul и положим т = t/to = uot/a. Тогда система уравнений (IV. 19), (IV.20) при пренебрежении членами порядка е и выше сведется к следующей:

д [ср (S) д П /дХ] /дХ = 0, f (s) дП/дХ - w {У, Z, т), (IV.65) ds/dz + (ш/m) F (S) ds/dX -дФ (s) /дХ = О, ш = u/uo. (IV.66)

Система уравнений двухфазной фильтрации свелась к одномерной ввиду того, что радиус кривизны поверхности разрыва, определяемый условиями внешнего течения, имеет порядок L и все вторые производные по координатам У и Z входят в уравнения с коэффициентами, пропорциональными е, а производные по X - с коэффициентами порядка единицы.

В пределах переходной зоны, где течение можно считать одномерным, суммарная скорость ш фильтрации обеих фаз вдоль оси X не зависит от «быстрой» координаты X, а зависит только от «медленных» переменных - времени т и координат на поверхности скачка У и Z. Изменение скорости ш происходит за времена порядка L/uo, т. е. большие в масштабе внутреннего разложения. Установление распределения насыщенности вдоль переходной зоны происходит за время to = a/uo, т.е. много быстрее, чем изменение скорости. Поэтому при асимптотическом исследовании течения в переходной зоне (внутреннее разложение) скорость ш можно считать постоянной, а распределение насыщенности - стационарным в координатах, связанных со скачком.

Уравнение (IV.66), описывающее одномерное вытеснение несмешивающихся жидкостей с учетом капиллярных сил, называется уравнением Рапопорта - Лиса. Основное значение имеет его решение типа бегущей волны

S - S (С); С = Х - Vt; V° = V/Uo, (IV.67)

где V - скорость распространения скачка, определяемая из внешнего разложения. Именно это решение описывает распределение насыщенности поперек скачка, поскольку внутренняя структура скачка очень быстро приспосабливается к изменению внешних параметров. В силу большого различия масштабов I и L{l<L) должны выполняться граничные условия сращивания:

s(-oo) = s- = s,; s (+оо) = s+= So, (IV.68)

где ~ Sc и s+ = So - соответственно насыщенности за и перед скачком, определяемые из внешнего разложения. В задаче Баклея -