Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [ 20 ] 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

производную от квадрата dpidl. Таким образом, для определения функции /($) получили граничную задачу того же типа, что и граничные задачи для автомодельных решений, рассмотренных в предыдущем пункте, и соответствующую значению параметра а, равному бесконечности, т. е. ).= 1. Эффективное вычисление функции f{V) выполняется способом, указанным выше, результаты вычислений были приведены на рис. 11. Функция = 1) тождественно равна нулю при Е>Ео= 1,810; координата и скорость перемещения переднего фронта составят

XQ (О = 1,810v е/2, Vo (t) = 0,905xv е/;

v = (a/io/x)/2. (11.187)

Полученное решение в некотором смысле предельное для автомодельных решений, рассмотренных в предыдущем пункте. В самом деле, положим в формуле (11.152) а = Ло (ах)-", где Ло - некоторая константа, имеющая размерность напора; х - константа, имеющая размерность времени. При этом, очевидно, эти константы выбираются с точностью до некоторого постоянного множителя. Решение (11.152) принимает вид

л = Ло()7

(11.188)

Будем неограниченно увеличивать а при стремлении начального момента to к минус бесконечности по закону

/о = -ах. (11.189)

Раскрывая неопределенность, получаем, что при аоо

. , -«PV -1-(П.190)

Уравнение (11.153) в пределе при асо переходит в (11.185), а условия (11.154) совпадают с (11.186); f($, I) f (k, l) = f().

Обозначая т через 1/х, получаем, что при а->-оо выражение (П. 188) стремится к (II. 184). Поэтому решение (П. 184) было названо предельным автомодельным решением [2]. Предельные автомодельные решения представляют и принципиальный интерес в том отношении, что для доказательства их ав-томодельности уже недостаточно соображений анализа размерности, т. е. недостаточно инвариантности постановки задачи относительно группы преобразования подобия величин с независимыми размерностями, как это было в ранее рассмотренных автомодельных задачах, а требуется дополнительно воспользоваться инвариантностью постановки задачи относительно еще одной группы - группы преобразований переноса по времени.

Приведенные при рассмотрении предельной автомодельной задачи рассуждения носят общий характер и могут применяться во многих других задачах. Предельные автомодельные движения существуют всегда, если система основных уравнений рассматривае-

мой задачи имеет автомодельные решения обычного степенного типа с произвольным показателем степени, который может принимать сколь угодно большие значения, и инвариантна относительно преобразования переноса соответствующей координаты [4, 38].

Задача. На границе х = 0 полубесконечного пласта с непроницаемым горизонтальным водоупором задается поток (расход) жидкости как степенная функция времени

•о" С(dhVdx)o = {t - tof Р > - 1, X > 0.

Начальный напор во всем пласте равен нулю. Решение задачи представляется в виде:

СМ (X) (Р + 2)

2 -11/3

2СМ (I) (р + 2)

(11.191)

(11.192)

где М(Х) = -d/2(0, X)/d; (см. рис. 13); координата переднего фронта жидкости jCo{t} имеет вид:

(11.193)

2СМ (X) ф + 2)2

Осесимметричные автомодельные движения. При осесимметричных пологих безнапорных движениях напор жидкости удовлетворяет уравнению

dt ~"- г д~г

I "=2 =

(П.194)

дг J 2т 2m!i

где г - расстояние рассматриваемой точки пласта от оси симметрии.

Пусть в бесконечный пласт, ограниченный снизу горизонтальным водоупором, через скважину, радиус которой пренебрежимо мал, начинается закачка жидкости. Предположим что начальный €е напор в пласте равен нулю, так что начальное условие имеет вид:

Л (г, /о) = 0. (11.195)

Предположим далее, что расход закачиваемой жидкости изменяется со временем по степенному закону. Выражение для полного расхода жидкости, закачиваемой через скважину радиусом Я, имеет вид:

<7 (О = 2tzR

По предположению, радиус скважины пренебрежимо мал (ниже остановимся на причинах, по которым это допущение можно делать для большинства реальных движений), поэтому можно принять Р = 0. Так как расход жидкости, закачиваемой в скважину, меняется по степенному закону, граничное условие на скважине принимает вид:

- 7rC(ra/i2/ar).=o = х(/ -/о) (11.197)

где х>0 и Р> - 1. В частности, случай р = О соответствует закачке жидкости в пласт с постоянным расходом. Таким образом,

решение задачи удовлетворяет уравнению (11.194) и условиям (11.195) и (11.197). По-прежнему, используя анализ размерности, можно показать, что это решение автомодельное и представляется в виде:

(11.198)

Как и прежде, искомая функция должна быть непрерывной и иметь непрерывную производную от квадрата. Подставляя выражение (11.198) в уравнение (11.194) и условия (11.195) и (11.197), находим, что функция f\ ($, X) - решение граничной задачи

1 d L df]\ , I df, , df

= - 1, /(co, X) = 0. (11.199)

Исследование этой граничной задачи проводится айалогично предыдущему, также единственным образом строится функция / (1, X), отличающаяся от нуля лишь при О < S < ;i (X), где Ь (X)- некоторая функция X, а при ; > Si (X) тождественно равная нулю. Функция fi{l, X), как нетрудно видеть из первого условия (П.199), при i О имеет особенность вида

/i(;, l):V, kO. (11.200)

Второе условие (11.199) может быть приведено к другой форме: умножая уравнение (11.199) на I и интегрируя от $ = 0 до = со, а также используя дополнительно легко устанавливаемые из (11.199) условия (W/i/dOi=co = О, [S/i (k, Х)]с=о = О, получаем следующее интегральное соотношение:

I £/,($, X)dS= J kfiil, Md = . (11.201)

Эффективное вычисление функции /i (k, X) удобно проводить следующим образом. Строится решение задачи Коши ф1( X) для уравнения (11.199) обращающееся в нуль при $ = 1 и имеющее в этой точке конечную первую производную. (Исследование показывает, что эта производная равна -1/4.)

Далее численно определяется величина

Величина N (к) оказывается не равной единице, поэтому функция, равная Ф] (f, X) при $ < 1 и тождественно равная нулю при 1>1, удовлетворяет всем условиям граличной задачи (11.199), кроме условия в нуле. Воспользуемся теперь тем, что, как нетрудно показать, уравнение (11.199) и второе граничное условие инвариантны относительно группы преобразований

ф2($, X) = [.-2ф, (£[., X), (11.202)

поэтому при произвольном положительном ]j. функция ф2($, X)