Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 [ 26 ] 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

условиями и доказать принцип максимума в несколько измененной форме: напор принимает свои максимальное и минимальное значения на границе области течения. Здесь под областью течения понимается та часть V+ рассматриваемой бласти V, в которой ш>0, включая границу (т. е. замыкание V+ области V+). Если предельный градиент давления отсутствует, то V+=V, и это соответствует обычной формулировке принципа максимума, при предельном градиенте, не равном нулю, различие формулировок существенно (см. пример, с. 148).

Наибольший интерес, как и в линейном случае, представляют оценки для расхода фильтрационного потока через обобщенную трубку тока. Пусть Но - заданный перепад напора на трубке тока, Q - отвечающий ей расход. Функции

Q = S(Ho), Wo = Z(Q) (HI.15)

назовем расходными характеристиками трубки тока. На решениях задачи функционалы D* и R превращаются в функции одного аргумента, в качестве которого мы будем брать, соответственно, Q и Но- Имеем следующие основные формулы:

dP [w\ о dR[H]

~Ч0~ = ° "777 = (III.16)

D{Q) + R4Ho) = QHo. (III.17)

Назовем

QHoRiHo); Wo = Q-D*(Q) (III.18)

сглаженным расходом и сглаженным напором соответственно.

Из сказанного следует, что для сглаженного напора при фиксированном расходе и для сглаженного расхода при фиксированном напоре справедливы все утверждения § 2, гл. II. Для степенного закона фильтрации удается получить оценки непосредственно для расхода и перепада давления.

Действительно, в этом случае

Ф(и!, р) = рда% W(h, р) = (/z/p)/s,

И = г+, R[h] = (hfp). (III.19)

Тогда, если w и Н - решение, то с учетом (III.16) имеем

sD{w) = R(hy, Dlw] = s-R[H] = {]+s)-QHo, (III.20) откуда

Q = (s+1)s-Q; Яо (s+l)/7o. (III.21)

Таким образом, поскольку при степенном законе фильтрации расход и напор пропорциональны соответственно сглаженным расходу и напору, для них верны все утверждения § 2, гл. II.

Для произвольного закона фильтрации справедливы следующие утверждения [17].

A. Принцип вдавливания. При вдавливании внутрь области фильтрации входной поверхности расход и скорости фильтрации во всех точках выходной поверхности не уменьшаются (при фиксированном перепаде напора).

Для двумерного случая доказано двойственное утверждение: при вдавливании внутрь области непроницаемых границ трубки тока расход не увеличивается.

B. Если для данного закона фильтрации Ф(а1, р), р(х, у, z) справедливы неравенства

р,Ш5, = ф, ф (да, р) или Ф (Ш, р) < р2! (HI.22)

(pi > О, S,- > О - постоянные), то для соответствующих расходов Qi > Q > Q2.

C. Если

Ф (ш, р) > Х,р,шг, Xf = const, (П1.23)

то при фиксированном Q

Ho>j]liHoc. (И 1.24)

Здесь Hoi - перепад напора при течении с расходом Q в области той же формы при степенном законе фильтрации вида

Ф (И),р) = piW\

D. Если

¥ {h, р)< тфГЛ, т.> 0. (1"-25)

то при фиксированном Но

Q>j.Q.-. (П1.26)

Здесь Qi - расход фильтрационного потока через данную область при том же перепаде напора Но для закона фильтрации вида Ф = pibu.

Ниже приведены примеры использования этих общих утверждений.

Плоская задача. Рассмотрим плоскую задачу теории фильтрации при нелинейном законе сопротивления в однородной и изотропной среде. Введем обычным образом функцию тока •ф {х, у), после чего система уравнений, описывающих движение, может быть представлена в виде

Я,= - Ф (ш) U/W, = - 1),

H,y = -<!>{w)vlw, j, = u, (П1.27)

И = ШС05е, и = Ш5Шб.

Здесь W - модуль скорости фильтрации; Э - угол, составляемый ею с положительным направлением оси х. Система уравне-

НИИ плоской задачи (III.27) превращается в линейную если за неизвестные величины взять ij и Я, а за независимые переменные ш и Э. Это линеаризующее преобразование годографа было с успехом использовано в газовой динамике С. А. Чаплыгиным. Возможность его применения в теории фильтрации следует из установленной С. А. Христиановичем [43] аналогии между уравнениями фильтрации при нелинейном законе сопротивления и газовой динамики.

После несложных выкладок получим

дН дЬ дН Ф т\99,)

, /cos 6 ,„ , sin 6 ,, \

dx=-[-dH + -difi

J sin 6 , cos e J,

dy---dH + -d.

(111.29)

Соотношения (111.29) позволяют, найдя решение системы (111.28), определить x и у как функции и) и 6. Тем самым установлена связь между координатами х к у и напором Н и функцией тока ф, выраженная через параметры и) и 6.

Основная система уравнений (III.28) - однородная линейная система эллиптического типа, которую при желании можно свести к одному уравнению для напора или функции тока:

diX , Ф д-]>

яТ, +Ы = 0, (III.30)

\wФ(w) dwj jj,2

Эффективность решения конкретной задачи зависит от того, какая именно краевая задача для уравнений (III.30) - (III.31) должна быть решена на плоскости годографа (ш, Э). Характер этой краевой задачи определяется, в основном, геометрией области движения в физической плоскости (х, у). В тех случаях, когда область движения - многоугольник, стороны которого либо непроницаемые границы, либо линии постоянного напора, на всех них направление скорости фильтрации постоянно на каждом участке и задано заранее (соответственно, вдоль границы или перпендикулярно к ней), так что граница области в плоскости годографа состоит из отрезков линий б = const. Если в области движения имеются источники или стоки, то в плоскости (w, Э) им отвечает бесконечно удаленная точка ш->-оо, 0<Э<2я. При отличном от нуля предельном градиенте давления в области фильтрации могут образоваться зоны, в которых скорость фильтрации равна нулю («застойные зоны») и область течения оказывается областью с неизвестной границей (рис. 22). Поскольку на границе застойной зоны скорость фильтрации w обращается в нуль, этой неизвестной границе в плоскости годографа соответствует отрезок линии w = 0