Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [ 16 ] 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

Тогда из первого интегрального соотношения (11.132) получим

]р{г, t)rdr = lR- = p,. (11.138)

Уравнение (11.138) следует решить при условии непрерывности давления при tti, Ро = - Я- Решение имеет вид

Po{i) = - <7ехр[-6х(/ -/i)/p2]. (11.139)

Таким образом, будем иметь приближенное выражение для распределения давления

р{г, i) = g\n(r/R) - gil-r/R)exp[-6x(t - ii)IR]. (11.140)

Как видно, распределение давления экспоненциально стремится к стационарному.

§ 5. Нестационарное движение однородных жидкостей. Нелинейные эффекты

Рассмотрим нестационарные изотермические движения газа в пористой среде и эквивалентные им безнапорные движения. При их исследовании выявляются нелинейные эффекты, характерные для многих задач подземной гидродинамики. На примере этих течений также хорошо иллюстрируются методы решения нелинейных задач.

Основные уравнения фильтрации газа. При исследовании фильтрации газа основное значение имеет тот факт, что сжимаемость газа обычно на несколько порядков превышает сжимаемость пористой среды. Поэтому можно пренебречь изменением пористости т в уравнении неразрывности

(/пр).,-f div ри = О, (П.141)

которое приводится к виду

/п + divpH = 0. (11.142)

Чтобы получить замкнутую систему уравнений, нужно использовать связь плотности газа с его давлением р и температурой Т р = р(р, Т), по этой причине в задаче появляется новая переменная Т. Для замыкания системы уравнений необходимо добавить еще одно уравнение - уравнение энергии. Однако, если в среде отсутствуют истошики выделения или поглощения энергии, то изменения температуры в процессе движения газа настолько малы, что при расчете поля давления газа ими можно пренебречь. Это обстоятельство легко понять, если учесть, во-первых, медленность фильтрационных движений и, во-вторых, наличие теплового балласта - скелета пористой среды, эффективно подавляющего изменения температуры. Будем считать, что

Р = р(р, Го) = р(р), (11.143)

где То - постоянная температура.

Уравнения (11.142) и (11.143) и уравнение закона фильтрации

и = - (/(j.)gradp (11.144)

образуют замкнутую систему. Исключая скорость фильтрации, имеем

m = -div(gradpy (П.145)

Ограничимся простейшим случаем, когда газ считается термодинамически идеальным с вязкостью, не зависящей от давления.

р = рро/ро; = const. (11.146)

При этом уравнение (11.145) преобразуется к виду

Эти уравнения - уравнения изотермической фильтрации газа - были впервые получены Л. С. Лейбензоном [26]. Он же указал Ба их аналогию с уравнениями Буссинеска нестационарного пологого безнапорного движения; эта аналогия позволяет рассматривать исследование двух упомянутых классов движений как единую задачу. Независимо несколько позже аналогичное уравнение было получено Маскетом.

Инвариантные задачи нестационарной фильтрации. Нелинейность задач нестационарной фильтрации газа и безнапорной фильтрации не позволяет использовать разработанный аппарат линейных уравнений математической физики, для которых справедлив принцип суперпозиции решений. Поэтому в теории фильтрации (как и во многих других разделах физики вообще и механики сплошных сред, в частности) уже давно используются своеобразные частные решения, которые выражаются через функции одной переменной. Вначале считалось, что их значение определяется тем, что они описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, решать которые проще, чем уравнения в частных производных. Для различных приближенных методов такие решения часто использовались как эталоны, позволяющие оценить точность метода.

Однако главная их ценность была осознана позднее. Оказалось, что таким путем асимптотически описываются фильтрационные течения для весьма широких классов задач, когда детали граничных и начальных услоьий перестают быть существенными. Именно эти области часто бывают наиболее интересными (например, спустя незначительное время после начала отбора из скважины, пока воронка депрессии не достигла области влияния соседней скважины и т. д.). Зная такие решения, фактически можно судить, по крайней мере, качественно, об очень широком классе фильтрационных движений (подробнее см. [4]).

Важным свойством рассматриваемых ниже решений является их инвариантность: для одних «автомодельных»-пространственные распределения давлений, напоров, плотностей и т. п. оказы-

ваются во все моменты времени геометрически подобными, для других- кривые изменения этих параметров 1! перемещаются, не меняя формы, с по-стоянной скоростью и т. д. Это свойство связано с особым характером за-

дач, в которых после выполнения риС. 8. Кривая распределения

определенных преобразований зависи- напора в горизонтальном пласте мых и независимых переменных уравнения, граничные и начальные условия задачи остаются неизменными. Как говорят в математике, эти задачи инвариантны относительно некоторой группы непрерывных преобразований. Такие задачи рассматриваются ниже.

Автомодельные пологие безнапорные движения при нулевом начальном уровне жидкости. Ниже рассмотрим точные решения некоторых нелинейных задач нестационарной фильтрации, характеризующихся нулевым начальным условием. Исследование этого класса движений представляет принципиальный интерес, поскольку в подобных задачах наиболее сильно проявляется существенно нелинейный характер рассматриваемой проблемы и обнаруживаются некоторые свойства нелинейных движений, резко отличающие их от соответствующих линейных задач и неизбежно утрачиваемые при линеаризации.

Для определенности при исследовании задач с нулевым начальным условием рассмотрим безнапорные пологие фильтрационные движения грунтовых вод в первоначально сухом грунте. Согласно обнаруженной Л. С. Лейбензоном аналогии, все получаемые результаты можно непосредственно использовать для задач изотермической фильтрации газа. Излагаемые ниже решения были получены в работах [1, 2, 6].

Рассмотрим полубесконечный пласт, имеющий снизу плоскую горизонтальную непроницаемую границу-водоупор, а со стороны канала-плоскую вертикальную границу (рис. 8), перпендикулярную к оси X и проходящую через точку x=0.

Пусть начальный напор жидкости в пласте равен нулю, а напор на вертикальной границе пласта изменяется по степенному закону, начиная с исходного момента t = to:

h(x, to) = 0, ft (О, t) = o(t~to)\ (П. 148)

где a > 0; a - некоторая константа, выбираемая в пределах - 1/2< < а < 0. В частности, константа а может равняться нулю; в этом случае напор на границе мгновенно принимает некоторое значение а и остается постоянным. В случае фильтрации газа сформулированная задача соответствует его закачке при нулевом начальном давлении в однородный пласт постоянной мощности при изменении давления в начальном сечении пласта по степенному закону.