Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 [ 36 ] 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

проинтегрируем второе уравнение (П1.98) по л; в пределах от -е до £. В силу ограниченности рг, Ри ()Р\1ду и dpildz при s О имеем

- iP2 - pi) -

Таким образом, производная dpijdx, а вместе с ней и само давление в трещинах pi непрерывны на поверхности S.

Запишем теперь первое уравнение системы (П1.98) для точек впереди поверхности разрыва {х = +0) и для точек за этой поверхностью (д;=-0), обозначая соответствующие значения знаками -f и -, и вычтем полученные уравнения друг из друга. Имеем

{pi - рГ) j (pt - рг) J ] = 0.

По доказанному, [pi] = pt - pi =0, так что для скачка давления [р2] = pt - рТ имеем

d[p2\ldt+ А{р2\0. (ТП.101)

Таким образом, скачки порового давления р2 должны удовлетворять уравнению (HI. 101) или после интегрирования

Ы =[р2]оехр(-ЛО. (III. 102)

Здесь через [р2]о обозначен начальный скачок в момент = 0. Допустим теперь, что вблизи поверхности S (являющейся или не являющейся поверхностью разрыва давления рг) производная dpi/dx непрерывна. Тогда первое уравнение системы (II 1.98) можно вне поверхности И (принимаемой за плоскость х - 0) продифференцировать по X, получив при этом

д dt

др2\

дх I

(III.103)

применяя к этому уравнению те же рассуждения, что и выше, и используя непрерывность производной dpi/dx на поверхности S, получим

др2 дх

= 0,

ехр (-At). (III.104)

Отмеченные особенности решений уравнения (III.99) и системы (III.98) порождают соответствующие особенности в постановке граничных и начальных условий, которым должны удовлетворять эти решения.

Прежде всего, как уже было сказано, нельзя требовать, чтобы при стремлении t к нулю оба давления (в порах и трещинах) принимали зар анее заданные значения р\ (О, х, у, z); р2 (О, х, у, z). Обязательно соблюдение условия непрерывности приведенного давления р2 - Ррь тогда давление в трещинах pi определяется из

уравнения (III.100) и может оказаться разрывным. Таким образом, начальное условие будет иметь вид:

р (О, X, у, Z) = р2 (О, X, у, Z) - (О, X, у, Z) = f{x, у, Z). (III.105)

В свою очередь, при стремлении к границе области лишь давление в трещинах pi должно быть непрерывно вместе со своими производными.

Динамические процессы в окрестности скважины. Хотя уравнения нестационарной фильтрации в трещиновато-пористом пласте и сложнее уравнений пьезопроводности, будучи линейными, они допускают полное исследование стандартными методами. Проследим специфику переходных процессов в трещиновато-пористой среде на примере течения вблизи скважины.

Рассмотрим осесимметричную задачу, предполагая, что в пласт, находящийся при постоянном давлении ро = 0, начинается закачка жидкости с расходом Q через скважину пренебрежимо малого радиуса.

В цилиндрических координатах рассматриваемая задача сводится к решению уравнения

1 3/13 дрл 1 а / дрл

при условиях

р\ (О, г) = 0; р, (/, со) = 0; (г = = -р (t). (III. 107)

Эта задача сформулирована для давления в трещинах pi\ при желании ее можно сформулировать для давления в пористых блоках р2- Тогда краевое условие при г = О примет вид:

дР2\ , , д { Зр

17U + /3f

2

г dr

Остальные условия и основное уравнение останутся без изменения.

Применяя к соотношениям (III.106) - (III.107) преобразование Лапласа, получаем

()-==0 [w\r-P* р.(-) = 0. (III. 108) Этим условиям удовлетворяет решение

Р.=рДо(]/г), (III.109)

где ТСо -функция Макдональда, так что по формуле обращения при р = const (пуск с постоянным дебитом)

•()=& i o(/r)ja. (in.llO)

Этот интеграл может быть сведен к интегралу по вещественной переменной. Проанализируем лишь асимптотику полученного реше-

ния при малых значениях параметра р = 2-г/1/х. Представим выражение (in.llO) в виде:

При 7j/y/ < 1 рассматриваемое выражение переходит в известную формулу теории упругого режима (см. § 4 гл. П1). Если же -)з/х > 1, то аргумент функции Макдональда равномерно мал, так что для нее можно воспользоваться приближенным представлением

Koiz)= - (с-bin 4)+ 0(1).

В результате получаем piit, r) = -p[C + \n{2-r/Vv)], r(x0-/2« 1, >t/vi«l. (III.112)

Смысл соотношения (III. 112) прост: оно означает, что если характерное время трешиновато-пористой среды 6=ti/x не слишком мало, существует промежуточный квазистационарный режим, когда жидкость, поступающая из скважины, поглощается ближайшими к ней блоками. Лишь тогда, когда давление в блоках в окрестности скважины сравняется с давлением в трещинах (т. е. по истечении времени ~0), начинает сказываться обмен жидкостью с более отдаленными участками пласта.

Отметим еще одно обстоятельство. Соотношение (III.112) показывает, что существует некоторый промежуток времени гУу. <t<e, на протяжении которого давление в скважине не меняется. Если временем г/х можно пренебречь (обычно это сотые доли секунды и менее), то из (III.112) следует, что при скачкообразном изменении дебита скважины давление в ней изменяется скачком, а затем сохраняет постоянное значение на протяжении времени ~ 6. Это действительно наблюдается на практике и может быть использовано для оценки характерного времени О-Допустим теперь, что дебит скважины изменяется периодически по гармоническому закону, так что

р* = Р*е"". (II 1.113)

Тогда в пласте со временем установится периодическое распределение давлений

р{г, t) = Р (г)е", (III.114)

где Р (г) - комплексная амплитуда колебаний давления. Выражение для нее можно получить либо из задачи (III.106) - (III.107), либо по известным правилам операционного исчисления. В результате получим

Проанализируем это выражение при малых и больших значе-иях г ~ г ((о/х)/2. Если (например, когда измерения производятся