Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 [ 46 ] 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

а = aVklyb, Ф (s) = - f /2 (s) F (s) /(s) ds.

В тех же обозначениях из уравнений обобщенного закона Дарси (IV. 11) и (IV. 12) следует:

«1 = UoF (s) - атдФ/дх, «2 = «о - «i. (IV.78)

Типичный вид функции Ф(5), соответствующей относительным проницаемостям /1 (s) = s*, /2 (s) = (1 + s) (1 - s) и / (s) = s-z, показан на рис. 45.

Пусть образец длины L первоначально заполнен вытесняемой жидкостью с насыщенностью ао{х) =1-So(x), и через сечение х = = О начинается закачка вытесняющей фазы со скоростью фильтрации и = Uo(t).

Уравнение (IV.77) - квазилинейное уравнение в частных производных второго порядка параболического типа. В задаче о вытеснении для этого уравнения должны быть заданы граничные условия как во «входном» сечении при х = О, так и в «выходном», при х= L.

Формулировка граничных условий зависит от состояния жидкостей и пористой среды вне рассматриваемого образца и от преимущественной смачиваемости его скелета вытесняющей или вытесняемой фазой, т. е. в случае вытеснения нефти водой от того, является среда гидрофильной или гидрофобной.

Заданными на входе могут быть отношение скоростей фильтрации фаз либо насыщенность, либо некоторая их комбинация. Рассмотрим некоторые типичные постановки. Пусть пористая среда соприкасается при х<0 со свободным пространством, заполненным нагнетаемой вытесняющей фазой. При этом возможны две ситуации. Если вытесняющая фаза менее смачивающая, то только она и будет двигаться в сечении, примыкающем к входному концу, т. е. будет выполняться условие равенства нулю скорости фильтрации вытесняемой фазы прн х = 0, что с учетом формул (IV.78) дает

«2 = «о (1 - F (Sl)) + атдФ/дх = О, д; = О, (IV.79)

где Sl = s(0, t).

Если же вытесняющая фаза более смачивающая, чем вытесняемая (гидрофильная среда), то последняя может выходить в свободное пространство путем противотока. Поэтому условие (IV.79) выполняется только в том случае, если на входном конце образца установлена полупроницаемая мембрана (из материала противоположной смачиваемости), не допускающая противоточ-ной фильтрации вытесняемой фазы. Если же возможен выход несмачиваемой вытесняемой жидкости в свободное пространство, заполненное вытесняющей фазой, то такое истечение происходит в виде отдельных капель, радиус которых Гр близок к радиусу самых крупных пор. В таком случае при хО задается условие

равенства капиллярного давления в среде капиллярному давлению в капле

P,(si) = 2a/rp, (IV.80)

откуда определяется значение si = s(0, О- Поскольку радиус Гр велик по сравнению со средним радиусом пор, s\ оказывается близким к S* - максимально возможной насыщенности при вытеснении.

Условие (IV.79) в безразмерных переменных внешнего разложения X = х/L, x = uotIL имеет вид

\-Р{5{) + гдФ1дх\=о = 0, (IV.81)

где B = a/uoL - малая величина. При г-> О, т. е. в рамках нулевого приближения внешнего разложения, условие (IV.81) сводится к F (si) = 1 или Sl = S*.

Формулировка условия при x=L также зависит от состояния среды вне рассматриваемого образца и может быть различной. Предположим, что при х > L находится пористая среда, проницаемость которой много больше, чем проницаемость рассматриваемого образца, первоначально насыщенного вытесняемой фазой. На границе двух сред при двухфазном течении должно выполняться условие непрерывности давления в обеих фазах и, следовательно, непрерывности капиллярного давления. Из соотнсшения Леверетта (IV. 10) следует, что в высокопроницаемой среде капиллярное давление близко к нулю при всех насыщенностях, соответствующих Подвижным фазам. Поэтому в основной (малопроницаемой) среде При равенстве капиллярных давлений насыщенность должна быть близка к S*, если вытесняющая фаза более смачивающая (гидрофильная среда при вытеснении нефти водой), и к s,, если она менее смачивающая (гидрофобная среда). Предельный переход -> оо приводит к случаю, когда при х> L происходит истечение в свободное пространство, причем выполняются граничные условия вида

s(L,0 = s*, s(L,0 = s.. (IV.82)

для гидрофильной и гидрофобной сред соответственно (под s подразумевается насыщенность вытесняющей фазой).

Условия (IV.82) Б отличие от (IV.81) не согласуются с условиями при x=L, вытекающими из внешнего разложения (решение Баклея - Леверетта), в котором s (L, t) = Sl - переменная величина, определяемая из равенства L = UqF (Sl) tim. Несогласованность граничных условий означает, что вблизи границы х = L образуется узкая зона (пограничный слой) с переменной насыщенностью, меняющейся от Sl до s или до s*. Распределение насыщенности в этой зоне можно исследовать методом сращиваемых асимптотических разложений, вводя, как и в стабилизированной переходной зоне, «капиллярный» пространственный масштаб l = a/uo, сохраняя, однако, масштаб времени внешнего разложения. Заметим, что при вытеснении нефти водой из гидрофильной среды начальная насыщенность So < s*. Значение s = s* при х = L достигается после подхода воды к выходному сечению не мгновенно, а через времена

порядка to = a/u. Значение io много меньше характерного времени вытеснения L/uo; период установления насыщенности s* при X = L нами не рассматривается. Перейдем в уравнении (IV.77) к безразмерным переменным = «о (L- х) /та", т = = Uot/m. В результате имеем

sds/dz - F (s) dsldl - дФ (s) Idk = 0.

(IV.83)

В нулевом приближении распределение насыщенности удовлетворяет стационарному уравнению

dFldl + дФ1д1 = 0. (IV.84)

Это означает, что вблизи выходного сечения распределение насыщенности в ходе

вытеснения квазистационарно. Граничные условия для уравнения (IV.84) определяются следующим сбразом: при ? = О выполняется условие (IV.82). При -> оо должно выполняться условие асимптотического сращивания с тем значением s, которое получается на границе х = L во внешнем приближении, т. е. в решении задачи Баклея - Леверетта s(-оо,) =Sl(0, где sl определяется из (IV.46) как s{L,t). Интегрируя уравнение (IV.84), получим распределение насыщенности вблизи x=L, удовлетворяющее граничным условиям при $ = О и = -со (рис. 46). Гидрофильная среда

РИС. 46. Распределение насыщенности при вытеснении нефти водой с учетом концевых эффектов

Среда: 1 - гидрофильная; 2 - гидрофобная

f = Г ()

Jf(s) f(sJ-

(IV.85)

Гидрофобная среда

С (5) с

J f (S) - F

) ds

Отклонение распределения насыщенности вблизи выходного сечения от распределения, полученного без учета капиллярности и справедливого вне концевой области, называется капиллярным концевым эффектом.

Из формул (IV.85) следует, что распределение насыщенности после полного вытеснения нефти в гидрофобной и гидрофильной пористых средах различное, т. е. в зависимости от того, какая из фаз является более смачивающей.

Для гидрофильной среды при -со, sl->s амплитуда изменения насыщенности в интеграле (IV.85) стремится к нулю, и в пределе s = s при всех X О < X < L, т. е. во всех точках, достигается предельная насьш1енность. Если среда гидрофобна, то sl s , а нижним пределом в (IV.85) является s. Поэтому с ростом интеграл стремится к конечному пределу для всех s< Si,. Это означает,